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I paradossi

 

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Il significato della parola “paradosso”

Paradossi e autoreferenza

Paradossi logici e paradossi semantici.

Il paradosso degli insiemi (infiniti) che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i membri di uno dei loro sottoinsiemi.

Il paradosso di due insiemi infiniti i cui membri non possono essere posti in corrispondenza biunivoca.

Il paradosso della dimostrazione diagonale di Cantor.

Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi (antinomia di Russell).

Il paradosso di Richard.

Il paradosso di Berry.

Il paradosso di Grelling e Nelson.

Il paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi.

Il paradosso di Napoleone, o delle definizioni impredicative.

Il paradosso dell'insieme di tutti i numeri cardinali.

Il paradosso della famiglia di tutti gli insiemi equipotenti ad uno dato.

Il paradosso del mentitore.

Il paradosso di Epimenide il cretese.

Il paradosso della famiglia di tutti gli insiemi simili ad un insieme ben ordinato.

Il paradosso della relazione "non avere relazione".

Il paradosso del numero degli ordinali transfiniti.

Il paradosso di Banach-Tarski.

Il paradosso dei tre enunciati falsi.

Il paradosso dell'uovo e della gallina (regresso all'infinito).

Il paradosso di Alice e del Re rosso.

Il paradosso di Don Chisciotte.

Il paradosso della lista delle persone interessanti.

Il paradosso del coccodrillo.

Il paradosso del barbiere.

Il paradosso del calcolatore cui è chiesto di prevedere il futuro.

Il paradosso dell'esame inatteso.

Il paradosso di Newcomb.

La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali

 

 

Il significato della parola “paradosso”

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La parola "paradosso" può indicare quattro casi:

  Un'affermazione che sembra falsa, ma che in realtà è vera

  Un'affermazione che sembra vera, ma che in realtà è falsa

  Un ragionamento che sembra impeccabile, ma che porta a una contraddizione logica (questo tipo di paradosso è detto più comunemente fallacia)

  Un'affermazione di cui non si può decidere la verità o la falsità (es. il paradosso di Napoleone)

Due ragionamenti che sembrerebbero dover escludersi a vicenda sono in realtà entrambi corretti (es. il paradosso di Newcomb)

I paradossi che esporremo appartengono prevalentemente al terzo e quarto tipo. Saranno tuttavia presentati anche paradossi del primo e del secondo tipo riguardanti la teoria cantoriana degli insiemi (es. il paradosso dell'insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con una parte di se stesso).

 

 

Paradossi e autoreferenza

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Molti paradossi della teoria degli insiemi hanno a che fare con un ragionamento circolare o auto-referenza. In logica la possibilità di auto-referenza può distruggere una teoria o renderla ricca e interessante. Il problema è quello di formulare le nostre teorie in modo che esse ammettano solo le possibilità che arricchiscono la materia ed escludono quelle che porterebbero a una autocontraddizione. Inventare paradossi è lo strumento principale per verificare se abbiamo posto i giusti limiti alle nostre idee logiche.

Eliminare l'autoreferenza non elimina tutti i paradossi. Di ciò erano ben consapevoli già gli antichi Greci. Illuminante è in proposito il paradosso preso da un dialogo platonico: Platone: "La prossima asserzione di Socrate sarà falsa" Socrate: "Platone ha detto la verità".

 

 

Paradossi logici e paradossi semantici.

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Nei paradossi logici intervengono solo concetti della teoria degli insiemi, mentre i paradossi semantici fanno uso anche di concetti quali "denota", "vero", "aggettivo", che non ricorrono necessariamente nel linguaggio matematico standard. Proprio per questa ragione i paradossi logici sono una minaccia molto maggiore per la tranquillità di spirito del matematico.

F.P. Ramsey ("The foundations of mathematics", Proc. London Math. Soc., (2), Vol. XXV (1926), pp. 338-384) per primo introdusse questa distinzione. I paradossi relativi ai valori di verità sono chiamati "paradossi semantici", mentre quelli relativi a insiemi di cose sono detti "paradossi della teoria degli insiemi". I due tipi sono in stretta relazione uno con l'altro. La correlazione tra paradossi semantici e paradossi della teoria degli insiemi nasce dal fatto che ogni enunciato cui corrisponde un valore di verità può essere riformulato come enunciato relativo a insiemi, e viceversa. Per esempio, "Tutte le mele sono rosse" significa che l'insieme di tutt le mele è un sottoinsieme dell'insieme di tutte le cose rosse e questo, riformulato nel linguaggio dei valori di verità, corrisponde all'enunciato semantico: "Se è vero che x è una mela, allora è vero che x è  rosso". Consideriamo l'asserto del paradosso del mentitore: "Questo enunciato è falso". Esso può venir tradotto nel seguente enunciato insiemistico: "Questa affermazione è un elemento dell'insieme di tutte le affermazioni false". Se l'enunciato appartiene realmente all'insieme di tutte le affermazinoi false, allora quello che asserisce è vero e non può quindi appartenere all'insieme degli enunciati falsi. D'altra parte, se l'enunciato non appartiene all'insieme di tutte le affermazioni false, allora quello che asserisce è falso e deve quindi appartenere all'insieme di tutti gli enunciati falsi. Ogni paradosso semantico ha il suo analogo nella teoria degli insiemi e ogni paradosso della teoria degli insiemi ha il suo analogo semantico.

Sono esempi di paradossi logici:

  L'antinomia di Russell

  Il paradosso del massimo numero cardinale

  Il paradosso di Burali-Forti del massimo numero ordinale

Sono esempi di paradossi semantici:

  Il paradosso del mentitore

  Il paradosso di Richard

  Il paradosso di Berry

  Il paradosso di Grelling

 

 

Il paradosso degli insiemi (infiniti) che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i membri di uno dei loro sottoinsiemi.

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La teoria degli insiemi è stata studiata per la prima volta come disciplina matematica da Cantor (1845-1918) nell'ultimo scorcio del diciannovesimo secolo. Attualmente, la teoria degli insiemi appartiene ai fondamenti della matematica, ne ha rivoluzionato quasi ogni settore. All'incirca nello stesso periodo in cui la teoria degli insiemi iniziò a influenzare gli altri rami della matematica, vennero scoperte diverse contraddizioni, dette antinomie o paradossi. Il primo di essi, dovuto a Burali-Forti, risale al 1897.

Qui esamineremo per primo un altro paradosso: nessun insieme finito può essere messo in corrispondenza biunivoca con uno dei suoi sottoinsiemi propri. Questo non vale per gli insiemi infiniti, i quali sembrano violare la vecchia regola secondo cui un intero è maggiore di qualsiasi delle sue parti proprie. In effetti, un insieme infinito può venire definito come un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio di se stesso.

Si considerino a questo fine la successione A dei numeri interi a partire da 1 e la successione B dei numeri interi a partire da 1000. Si possono mettere in relazione biunivoca i termini della successione A con quelli della successione B mediante la relazione

 

 f: nA ---f--> nA + 999

 

dove "nA" è un numero arbitrario della successione A e "nA + 999" è il corrispondente numero della successione B. La relazione f è ovunque definita, funzionale, iniettiva e suriettiva, e pertanto stabilisce una relazione biunivoca tra la successione A e la successione B. Invece del numero 1000 si sarebbe potuto far cominciare la successione B da un qualsiasi intero n arbitrario.

E' possibile parimenti mettere in relazione l'insieme dei numeri interi a partire da 1 con l'insieme dei numeri interi pari, mediante la funzione g definita come segue:

 

g: n ----g---> n x 2

 

dove "n" appartiene alla successione degli interi, mentre "n x 2" appartiene alla successione degli interi pari.

Possiamo considerare come caso particolare di questo paradosso il fatto che l'insieme dei numeri interi può essere messo in corrispondenza con l'insieme dei numeri razionali. Nel 1874 Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri interi può essere messo in corrispondenza biunivoca con quello dei numeri algebrici, cioè con l'insieme di tutti i numeri che sono soluzioni delle equazioni algebriche del tipo:

 

a0xn + a1xn-1 + ... + an = 0

 

Questo fatto è ancora più sorprendente, perché i numeri algebrici comprendono, oltre agli irrazionali anche una parte dei numeri irrazionali (gli irrazionali non algebrici sono chiamati trascendenti, e la loro esistenza era stata dimostrata Liouville nel 1844); ad esempio, la radice quadrata di due è il numero che costituisce soluzione dell'equazione algebrica:

 

x2 + 0x - 2 = 0

 

Ecco la dimostrazione di Cantor di quest'ultima corrispondenza. Si assegni ad ogni equazione algebrica di grado n la sua altezza N definita da:

 

N = n - 1 + |a0| + |a1| + ... + |an|

 

dove gli ai sono i coefficienti dell'equazione. L'altezza N è un intero e a ciascun N corrisponde soltanto un numero finito di equazioni algebriche e quindi anche soltanto un numero finito, che denoteremo con Φ(N) di numeri algebrici. così, Φ(1) = 1, Φ(2) = 2, Φ(3) = 4. Cantor parte da N = 1 e attribuisce ai corrispondenti numeri algebrici gli interi da 1 a n1. Ai numeri algebrici di altezza 2 vengono poi attribuiti gli interi da n1 + 1 a n2, e così via. Poiché in tal modo viene raggiunto ogni numero algebrico e a ciascuno viene attribuito uno e un solo intero, l'insieme dei numeri algebrici è numerabile.

 

 

Il paradosso di due insiemi infiniti i cui membri non possono essere posti in corrispondenza biunivoca.

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Il "numero cardinale" di un insieme è il numero degli elementi dell'insieme. Per esempio, il numero cardinale dell'insieme che contiene le lettere della parola "gatto" è 5. Qualsiasi insieme finito ha un numero cardinale finito. Georg Cantor scoprì che alcuni insiemi infiniti erano "più grandi" di altri insiemi infiniti. Egli usò la prima lettera dell'alfabeto ebraico, "א", per denotare il numero cardinale di un insieme infinito. Gli indici specificano quale "infinito". Cantor Chiamò "א-zero" il numero cardinale dell'insieme dei numeri naturali. L'insieme dei numeri pari e quello degli interi dispari hanno entrambi numero cardinale "א-zero". Quindi, א-zero + א-zero = א-zero. L'insieme dei numeri reali forma un insieme infinito più grande, che per Cantor aveva il numero cardinale א-uno. Cantor dimostrò che elevando 2 alla potenza di un א (cioè, equivalentemente, considerando il numero cardinale transfinito dell'insieme di tutti i sottoinsiemi dell'insieme che ha come cardinale l'א considerato) si genera un א superiore che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'א in esponente. così la scala degli א continua a salire all'infinito.

Consideriamo la dimostrazione di Cantor che insiemi di cardinalità א-zero non possono essere posti in corrispondenza biunivoca con insiemi di cardinalità א-uno. La dimostrazione comincia con l'assumere che l'insieme dei numeri reali compresi fra 0 e 1 sia numerabile. Scriviamo ciascuno di essi nella forma di un decimale illimitato e conveniamo che un numero come 1/2 sia scritto nella forma 0,4999... Se l'insieme di questi numeri reali è numerabile, sarà possibile assegnare a ciascuno di essi un intero n, così:

 

1 → 0,a11a12a13

2 → 0,a21a22a23

3 → 0,a31a32a33

................……..

 

Definiamo ora un numero reale b = 0,b1b2b3... compreso fra 0 e 1 ponendo bk = 9 se akk = 1 e bk = 1 se akk è diverso da 1. b differisce da tutti i numeri reali che compaiono nella corrispondenza precedente e, poiché si era supposto che questi esaurissero tutti i numeri reali compresi fra 0 ed 1, questa è una contraddizione.

 

 

Il paradosso della dimostrazione diagonale di Cantor.

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La famosa "prova diagonale" di Georg Cantor dimostra che l'insieme dei numeri reali corrisponde al numero di punti su un segmento, su una retta, su un quadrato, su un piano infinito, in un cubo, in uno spazio infinito e così via fino agli ipercubi e agli spazi di ordine superiore.

L'idea usata per stabilire questa corrispondenza biunivoca può essere spiegata facilmente stabilendo una corrispondenza biunivoca fra i punti del quadrato unitario e i punti del segmento (0,1). Siano (x,y) un punto del quadrato unitario e z un punto del segmento unitario. Rappresentiamo x e y mediante decimali illimitati sostituendo eventualmente con una successione infinita di 9 lo 0 terminale di un decimale finito che termini con 0. Decomponiamo ora x e y in gruppi di cifre decimali in cui ciascun gruppo termina con la prima cifra non nulla incontrata. così, ad esempio: x = 0,3 002 03 04 6 ... y = 0,01 6 07 8 09 ... Poniamo poi z = 0,3 01 002 6 03 07 04 8 6 09 ... scegliendo come primo gruppo di z il primo gruppo di x, come secondo il primo gruppo di y, come terzo il secondo gruppo di x e così via. Se duediverse copie di valori di x e y differiscono in qualche cifra anche gli z corrispondenti saranno diversi, cosicché a ogni coppia (x,y) corrisponde un unico z. Viceversa, dato x, se ne decomponga la rappresentazione decimale nei gruppi ora descritti e si formino x e y invertendo il precedente procedimento. Di nuovo, due z diversi daranno coppia (x,y) diverse, cosicché a ogni z corrisponderà un'unica coppia (x,y). La corrispondenza biunivoca ora descritta non è continua, cioè, in parole povere, punti vicini a z non vanno necessariamente in punti vicini a (x,y) e viceversa.

Nel 1874 Cantor si occupò dell'equivalenza fra l'insieme dei punti di una retta e l'insieme dei punti di Rn (lo spazio euclideo a n dimensioni) e cercò di dimostrare che era impossibile che esistesse una corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi. Tre anni dopo dimostrò invece che tale corrispondenza esiste. In tale occasione scrisse a Dedekind: "Lo vedo, ma non ci credo".

 

 

Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi (antinomia di Russell).

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Per insieme si intende qualsiasi collezione di oggetti, per esempio l'insieme di tutti gli interi pari, l'insieme di tutti i sassofonisti di Brooklyn ecc; gli oggetti che costituiscono un insieme sono chiamati suoi membri o elementi. Gli insiemi possono essere essi stessi elementi di insiemi, per esempio, l'insieme di tutti gli insiemi di interi ha, come suoi elementi, degli insiemi. La maggior parte degli insiemi non è elemento di sé stesso; l'insieme dei gatti, per esempio, non è elemento di sé stesso, poiché l'insieme dei gatti non è un gatto. Tuttavia possono esistere insiemi che appartengono a sé stessi, per esempio, l'insieme di tutti gli insiemi. Ora consideriamo l'insieme A di tutti quegli insiemi X tali che X non sia elemento di X. Evidentemente, per definizione, A è elemento di A se e solo se A non è elemento di A. così se A è elemento di A, allora A contemporaneamente non è elemento di A; e se A non è elemento di A, allora A è elemento di A. In ogni caso, A è elemento di A e A non è elemento di A.

La fonte del paradosso è l'assioma di astrazione ("axiom of abstraction"), che altri chiamano "assioma di comprensione", in base al quale, data una qualsiasi proprietà, esiste un insieme i cui membri sono tutte e sole le entità aventi quella proprietà.

Questo assioma fu introdotto per la difficoltà di trattare con le classi definite in termini estensionali. Si pensi alla classe nulla, o alle classi con infiniti membri, o alla classe unità. L'assioma rappresenta appunto il punto di vista intensionale della teoria delle classi. L'assioma di astrazione può essere formulato come segue:

 

( y)(x)(xy Φ(x))

 

dove Φ(x) è una formula in cui la variabile y non compare libera. Ed ecco la derivazione formale del paradosso di Russell dall'assioma di astrazione:

 

(1) ( y)(x)(xy Φ(x))

(2) Φ(x) =def (x x)

(3) ( y)(x)(xy (x x))

(4) x =def y

(5) x y (x y)

(6) (x y) & (x y)

 

Russell fu condotto alla scoperta di questo paradosso nel tentativo di conciliare la dimostrazione di Cantor circa l'impossibilità che esista un numero cardinale massimo, con la supposizione molto plausibile che la classe di tutti i termini abbia necessariamente il massimo numero di elementi

Il paradosso dell'insieme degli insiemi che non appartengono a se stessi fu scoperto da Bertrand Russell nel 1902 riflettendo sulla teoria di Cantor e da lui comunicato in una famosa lettera a Gottlob Frege in procinto di pubblicare il secondo volume dei "Grundgesetze der Arithmetic" ("I principi dell'aritmetica", I, 1893; II, 1903). Frege ne fu - per usare le sue parole - "costernato". In una lettera a Russell del 22 giugno 1902 scrive: "La Sua scoperta della contraddizione mi ha sorpreso al massimo, e, vorrei quasi dire, mi ha costernato, perché con essa vacilla la base qulla quale pensavo si fondasse l'aritmetica... Non solo è messo in crisi il fondamento della mia aritmetica, ma l'unico fondamento possibile dell'aritmetica in generale". E nella chiusura del citato secondo volume dei "Grundgesetze" osservò (dando prova tra l'altro di grande onestà intellettuale): "E' difficile che uno scienziato si imbatta in qualcosa di meno desiderabile del vedere buttare a mare i fondamenti proprio quando ha appena finito il suo lavoro. Io sono stato posto in questa condizione da una lettera del signor Bertrand Russell". Qualcuno ha rilevato che l'uso, da parte di Frege, della parola "indesiderabile" è il più grosso eufemismo di tutta la storia della matematica.

Nella medesima appendice in cui dava notizia dell'antinomia scoperta da Russell, Frege riaffermava tuttavia la sua dottrina sul rapporto tra aritmetica e logica e accennava ad una possibile via d'uscita dall'antinomia. Si iniziava con ciò la fase critica della logica cioè lafase nella quale la logica mette in discussione il fondamento stesso della sua validità.

 

 

Il paradosso di Richard.

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Il paradosso di Richard è collegato alla dimostrazione di Cantor della non-numerabilità dell'insieme dei numeri reali. Esso fu pubblicato da J. Richard in "Revue Générale des Sciences", XVI (1905), 541

Alcune frasi della lingua italiana denotano numeri reali, per esempio "il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio" denota il numero π. Tutte le frasi dell'italiano possono essere enumerate in modo standard: ordiniamo lessicograficamente (come in un vocabolario) tutte le frasi di k lettere, e quindi mettiamo tutte le frasi di k lettere prima delle frasi composte da un numero maggiore di lettere. così facendo tutte le frasi della lingua italiana che denotano numeri reali possono essere enumerate semplicemente omettendo tutte le altre espressioni nella data enumerazione standard. Chiamiamo l'n-esimo numero reale in questa enumerazione l'n-esimo numero di Richard. Consideriamo la frase: "Il numero reale la cui n-esima cifra decimale è 1, se l'n-esima cifra decimale dell'n-esimo numero di Richard non è 1, e la cui n-esima cifra decimale è 2 se l'n-esima cifra decimale dell'n-esimo numero di Richard è 1". Questa frase definisce un numero richardiano, diciamo il k-esimo numero richardiano; ma per la sua stessa definizione esso differisce dal k-esimo numero richardiano nella k-esima cifra decimale.

 

 

Il paradosso di Berry.

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E' una versione semplificata, proposta da Berry e da Russell, e pubblicata da quest'ultimo in "Proc. London Math. Soc.", (2), IV (1906), 29-53.

Nel linguaggio italiano esiste soltanto un numero finito di sillabe. Dunque esiste un numero finito di espressioni italiane che contengono meno di cinquanta silabe. Vi è perciò solo un numero finito di interi positivi che sono designati da espressioni italiane formate da meno di cinquanta sillabe. Scriviamo ora su un foglio: "k sia il più piccolo intero positivo che non è denotato da un'espressione nella lingua italiana contenente meno di cinquanta sillabe". La frase scritta sul foglio contiene meno di cinquanta sillabe e denota l'intero k.

Il filosofo Max Black formulò il paradosso di Berry in modo simile al seguente: immaginiamo che in un libro che citi molti numeri interi rechi scritta la seguente frase: "In questo libro sono citati numerosi interi. Concentratevi sul più piccolo intero a cui non sia mai stato fatto riferimento nel libro". C'è questo intero?

 

 

Il paradosso di Grelling e Nelson.

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Non è altro che un'altra forma del paradosso di Richard, enunciata per la prima volta da Kurt Grelling (1886-1941) e da Leonard Nelson (1882-1927) nel 1908 e pubblicata su un'oscura rivista: "Abhandlungen der Friesschen Schule", II (1908), 301-304.

Si chiama "autologico" un aggettivo se la proprietà denotat dall'aggettivo vale anche per l'aggettivo stesso; un aggettivo è detto invece "eterologico" se la proprietà denotata dall'aggettivo non si applica a sé stesso. Per esempio: "polisillabico" e "italiano" sono autologici, mentre "monosillabico", "francese" e "blu" sono eterologici. Consideriamo ora l'aggettivo "eterologico". Se "eterologico" è  eterologico, allora non è eterologico. Se "eterologico" non è eterologico, allora esso è eterologico. In ogni caso, "eterologico" è contemporaneamente eterologico e non eterologico.

 

 

Il paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi.

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E' detto anche antinomia di Cantor

In due lettere a Dedekind del 28 luglio e del 28 agosto 1899, Cantor si chiese se l'insieme di tutti i numeri cardinali sia esso stesso un insieme perché, se lo fosse, avrebbe dovuto avere un numero cardinale maggiore di ogni altro numero cardinale. Egli pensava di dover rispondere in senso negativo, distinguendo fra insiemi "coerenti" e insiemi "non coerenti".

Il fatto è che alcune classi non sono membri di se stesse, ma altre sì, tra cui l'insieme di tutti gli insiemi. La classe di tutti gli uomini non è un uomo. La la classe di tutte le idee è un'idea, la classe di tutte le biblioteche è una biblioteca, e la classe di tutti gli insiemi di cardinalità maggiore di 1 è ancora un insieme con quella proprietà. In questo, come negli altri casi di paradossi, un oggetto viene definito in termini di una classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso.

I paradossi di Cantor e Burali-Forti dimostrano che non vi è nessun insieme universale e nessun insieme che contenga tutti i numeri ordinali.

Sia C l'insieme di tutti gli insiemi. In tal caso, ogni sottoinsieme di C è pure un elemento di C; quindi l'insieme di C è un sottoinsieme di C. Questo implica che: card(2C) card(C) dove "card(A) card(B)" equivale a "A B", che a sua volta significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una funzione iniettiva f: AB) e che tuttavia non è equipotente a B. Card(2C) è il numero cardinale dell'insieme 2C e card(C) è il numero cardinale dell'insieme C

Tuttavia il teorema di Cantor stabilisce che, per ogni insieme A, è vero: A < 2A E a sua volta questo, per la definizione di diseguaglianza tra numeri cardinali significa che: card(A) < card(2A) Si ha perciò, come caso particolare: card(C) < card(2C) che è in contraddizione con la asserzione iniziale

 

 

Il paradosso di Napoleone, o delle definizioni impredicative.

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La frase "Napoleone ebbe tutte le qualità di un grande generale" si traduce in simboli:

 

(Φ) f(Φz^) Φ(Napoleone)

 

dove "f(Φz^)" è la funzione proposizionale "x è la qualità di un grande generale" Se noi non imponiamo alcuna restrizione al tipo di qualità Φz^ considerate in "(Φ)", allora anche la funzione proposizionale:

 

θ(x) = (Φ) f(Φz^) Φ(x)

 

rientra tra le qualità cui fa essa stessa riferimento. Il che crea una impasse logica: per stabilire se θ(Napoleone) è vera dobbiamo stabilire se Napoleone ha tutte le qualità Φ, ma per stabilire questo dobbiamo stabilire se θ(Napoleone) è vera. In pratica è come se dicessimo: θ(Napoleone) è vera se θ(Napoleone) è vera; in simboli:

 

θ(Napoleone) ≡ θ(Napoleone)

 

Questa è una tautologia e non contiene nessuna asserzione circa la verità di θ(Napoleone).Si tratta di un paradosso di indecidibiità.

In questo, come negli altri casi di paradossi, un oggetto viene definito in termini di una classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso. Simili definizioni sono dette anche impredicative, e si trovano soprattutto in teoria degli insiemi. Questo tipo di definizione viene usato anche, come Zermelo osservò nel 1908, per definire il limite inferiore di un insieme di numeri e per definire altri concetti di analisi: l'analisi classica contiene perciò dei paradossi.

*Le proprietà che non si riferiscono ad una totalità di proprietà si dicono "predicative", mentre quelle che si riferiscono a una totalità di proprietà sono impredicative. Le proprietà che si riferiscono a un insieme di proprietà hanno la tendenza a essere fonte di problemi. Supponete, per esempio, di voler dare la seguente definizione: "il tipico uomo inglese è  colui che possiede la maggior parte delle proprietà possedute dalla maggior parte degli inglesi". Ci si rende facilmente conto che la maggior parte degli Inglesi non possiede tutte le proprietà che la maggior parte degli inglesi possiede, e pertanto, un tipico uomo inglese, secondo la nostra definizione, sarebbe atipico.

Le funzioni che un dato oggetto può soddisfare possono non essere tutte dello stesso tipo; alcune tra esse possono riferirsi a una qualche totalità delle altre, come nell'esempio di Russell "Napoleone ebbe tutte le qualità che fanno un grande generale", in cui "avere tutte le qualità che fanno un grande generale" non è essa stessa una qualità del tipo delle qualità che indica, che devono essere anch'esse ascrivibili a Napoleone se questa proposizione è vera

 

 

Il paradosso del massimo numero ordinale o paradosso di Burali-Forti.

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E' anche conosciuto come il paradosso del massimo numero ordinale. Fu esposto da Burali-Forti nel 1897. Questa difficoltà era già stata notata da Cantor nel 1895.

Sia W l'insieme di tutti i numeri ordinali. Poiché, per un noto teorema, qualsiasi insieme di numeri ordinali può essere ben ordinato dalla relazione di similitudine tra un insieme e il segmento iniziale di un altro insieme, entrambi esprimenti un numero ordinale, anche W è un insieme ben ordinato. Sia α = ord(W). Consideriamo ora s(α), l'insieme di tutti i numeri ordinali minori di α. Poiché s(α) consiste di tutti gli elementi di W che precedono α, allora s(α) è un segmento iniziale di W

Per un altro noto teorema, α = ord(s(α)) Abbiamo quindi:

 

ord(s(α)) = α = ord(W)

 

Questo vuol dire che W è simile (isomorfismo d'ordine) ad s(α)

Fin qui, non esiste contraddizione: si vede facilmente che questa affermazione è vera per qualsiasi insieme W di ordinali. Ma W non è un insieme qualsiasi: come insieme di tutti gli ordinali deve includere anche se stesso. Questo comporta che α sia anche contemporaneamente un numero ordinale all'interno dell'insieme degli ordinali: s(α) sarà quindi costituito da una parte e non da tutti gli elementi di W: sarà quindi un segmento iniziale di W. Poiché, come si è visto, W è simile a s(α), questo vuol dire che W è simile a uno dei suoi segmenti iniziali. Ma un ultimo teorema stabilisce che un insieme ben ordinato non può essere simile ad un suo segmento iniziale. Il concetto di insieme di tutti gli ordinali risulta così contraddittorio.

In sintesi, il paradosso si riduce al fatto che, come osservò Cesare Burali-Forti nel 1897, la successione di TUTTI i numeri ordinali, che è ben ordinata, dovrebbe avere come numero ordinale il più grande di tutti i numeri ordinali. Ma questo sarebbe un numero fuori dalla successione: un ordinale superiore a qualsiasi ordinale

 

 

Il paradosso dell'insieme di tutti i numeri cardinali.

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Sia A l'insieme di tutti i numeri cardinali. Allora per ogni cardinale α A esiste un insieme Bα, tale che: α = card(Bα). Definiamo un insieme C tale che: C = UαA Bα Consideriamo l'insieme potenza 2C di C. Notiamo che 2C è equipotente a Bcard(2C), che è un sottoinsieme di C. Quindi 2C C. e in particolare, card(2C) card(C) Dove "A B" significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè  esiste una funzione iniettiva f: AB) Ma, per il teorema di Cantor, card(C) < card(2C) Dove "card(C) < card(B)" significa che A < B Il concetto di tutti i numeri cardinali porta dunque a contraddizione.

Questo paradosso non è da confondere col paradosso dell'insieme di tutti gli insiemi. E' anche conosciuto come paradosso del massimo numero cardinale.

 

 

Il paradosso della famiglia di tutti gli insiemi equipotenti ad uno dato.

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Sia A = {a,b,...} un insieme (non necessariamente contabile), e B = {i,j,...} un altro insieme. Consideriamo gli insiemi

 

Ci = {(a,i),(b,i),...}

Cj = {(a,j),(b,j),...}

………………….

 

Ossia la famiglia di insiemi {Ci}iB. Notiamo che card({Ci}iB) = card(B) e Ci è equipotente ad A per ogni i B Sia ora α la famiglia di tutti gli insiemi equipotenti ad A. Consideriamo l'insieme potenza 2α di α, e definiamo la famiglia di insiemi {Ci}i come sopra. Poiché ogni Ci è equipotente ad A, {Ci}i risulta incluso in α Dunque: card(2α) = card({Ci}i2α) card(α) Dove "card(A) card(B)" equivale ad "A B" che a sua volta significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una funzione iniettiva f: AB) Ma per il teorema di Cantor, card(α) < card(2α). Il concetto di famiglia di tutti gli insiemi equipotenti a un insieme (la definizione fregeana di numero cardinale!) è quindi contraddittorio.

Questo paradosso mina la stessa definizione di numero cardinale, secondo Cantor e Frege.

 

 

Il paradosso del mentitore.

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E' un paradosso molto antico, e risale almeno al filosofo greco Eubulide, membro della scuola megarica.

Un uomo dice "Io sto mentendo". Se egli sta mentendo, allora ciò che dice è vero; e perciò egli non sta mentendo. Se egli non sta mentendo, allora ciò che dice è vero e perciò egli sta mentendo. In ogni caso egli sta contemporaneamente mentendo e non mentendo.

Il paradosso del mentitore può assumere tantissime forme non necessariamente autoreferenziali; ad esempio, in un dialogo platonico si trova il seguente scambio di battute: Platone: "La prossima asserzione di Socrate sarà falsa" Socrate: "Platone ha detto la verità".

Un'altra versione del paradosso di Socrate e di Platone è dovuta al matematico P.E.B. Jourdain: supponiamo di avere una carta da gioco le cui facce siano A e B. Sulla faccia A stia scritto: "La proposizione scritta sulla faccia B di questa carta è falsa". Sulla faccia B stia scritto: "La proposizione scritta sulla faccia A di questa carta è vera". E' ora facile riconoscere che la proposizione scritta sulla faccia A è insieme vera e falsa, cosa che determina una situazione contraddittoria.

 

 

Il paradosso di Epimenide il cretese.

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Epimenide era un leggendario poeta greco, vissuto a Creta nel VI secolo a.C. Secondo la leggenda, una volta egli avrebbe dormito per 57 anni. Il paradosso che porta il suo nome è simile, ma con qualche significativa diversità, al paradosso del mentitore.

Epimenide diceva: "Tutti i cretesi sono mentitori". Se ciò che diceva è vero, allora, dal momento che Epimenide è un cretese, deve essere falso. Quindi ciò che diceva è  falso. Perciò vi deve essere qualche cretese che non è un mentitore. Questo non è logicamente impossibile, sicché non abbiamo un vero e proprio paradosso. Tuttavia, il fatto che il pronunziare Epimenide quella frase falsa potesse implicare l'esistenza di qualche cretese che non è un mentitore è piuttosto problematico.

Il paradosso può essere riformulato in molte forme. Ad esempio, potremmo leggere un documento la cui ultima frase dice: “alcune delle affermazioni contenute in questo documento sono false”. La frase di avvertimento non può essere falsa, perché questo implicherebbe la sua verità. Ne deriva la strana conseguenza che la sola presenza di questa frase rende irrefutabilmente falsa una delle altre affermazioni del documento. Nel caso limite in cui il documento consista di una sola altra frase, quale che essa sia sarà sempre falsa. Questo va contro il senso comune, che ci suggerisce che per stabilire la falsità di una affermazione occorre prenderne in esame il contenuto. Nel nostro caso si può invece dimostrarne logicamente la falsità prescindendo dal suo contenuto.

Per dimostrare logicamente la falsità di una qualsiasi affermazione, ad esempio: “Torino ha settecentomila abitanti”, è sufficiente accompagnarla alla frase che dichiara che una delle due è falsa.

Il paradosso di Epimenide è  citato anche da San Paolo: "Uno di loro, proprio un loro profeta, disse che i Cretesi sono sempre mentitori, cattive bestie, ventri pigri. Questa testimonianza è vera..." ("Epistola a Tito", I, 12-13). Da come Paolo riferisce l’affermazione, viene il dubbio che egli non ne abbia capito la natura paradossale.

 

 

Il paradosso della famiglia di tutti gli insiemi simili ad un insieme ben ordinato.

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Sia A = {a,b,...} un insieme ben ordinato, e B = {i,j,...} un altro insieme. Consideriamo l'insieme Ci = {(a,i),(b,i),...} e la relazione di ordine parziale (cioè riflessiva, transitiva, antisimmetrica e tale che non necessariamente due elementi diversi qualsiasi siano in relazione) R L'insieme Bi, ordinato da (a,i) R (b,i) se a R i è bene ordinato e simile ad A. Sia ora W la famiglia di tutti gli insiemi simili all'insieme ben ordinato A. Consideriamo l'insieme potenza 2W di W, e definiamo la famiglia di insiemi {Ci}i2W:

 

Ci = {(a,i),(b,i),...}

Cj = {(a,j),(b,j),...}

………………….

 

Poiché ogni insieme Ci è simile ad A, {Ci}i2W è incluso in W Quindi: card(2W) = card({Ci}i2W) card(W) dove "card(A) card(B)" equivale ad asserire "A B", che a sua volta significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una funzione iniettiva f: AB). Tuttavia, per il teorema di Cantor si ha: card(W) < card(2W) dove "card(A) < card(B)" equivale ad asserire "A < B", che a sua volta significa che A è equipotente ad un sottoinsieme di B (cioè esiste una funzione iniettiva f: AB) ma non equipotente a B. Il concetto di classe di tutti gli insiemi simili a un insieme bene ordinato (la definizione fregeana di numero ordinale!) è dunque contraddittorio.

Questo paradosso mina la stessa definizione di numero ordinale secondo Cantor

 

 

Il paradosso della relazione "non avere relazione".

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Sia T la relazione che sussiste tra due relazioni R ed S ogniqualvolta R non ha la relazione R con S. Allora, qualunque siano le relazioni R e S, "R ha la relazione T con S" è  equivalente a "R non ha la relazione R con S". Dando quindi il valore T sia a R sia ad S, "T ha la relazione T con T" è equivalente a "T non ha la relazione T con T".

 

 

Il paradosso del numero degli ordinali transfiniti.

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Tra gli ordinali transfiniti alcuni possono essere definiti, mentre altri non possono; perché il numero totale delle possibili definizioni è א-zero (la potenza dei numeri naturali), mentre il numero di ordinali transfiniti eccede א-zero. Perciò debbono esistere ordinali non definibili, e tra questi ci deve essere un ordinale minimo. Ma tale numero è definibile come "il minimo ordinale non definibile", il che contraddice la asserita indefinibilità.

 

 

Il paradosso di Banach-Tarski.

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Axiom of choice: For any set A there is a function f such that, for a non-empty subset B of A, f(B) B

Application of the axiom of choice can lead to some paradoxical results. Perhaps the most celebrated example is the Banach-Tarski paradox (1924) that by using this axiom a sphere of fixed radius may be decomposed into a finite number of parts and put together again in such a way as to form two spheres with the given radius. More generally, Banach and Tarski showed that, in a Euclidean space of dimension three or more, two arbitrary bounded sets with interior points are equivalent by finite decomposition, that is, the two sets are able to be decomposed into the same finite number of disjoint parts with a 1-1 correspondence of congruence between their respective parts.

 

 

Il paradosso dei tre enunciati falsi.

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Consideriamo un testo che dica: "Nel presente testo ci sono tre enunciati falsi: a) 2+2 = 4; b) 3x6=17; c) 8:4=2; d) 13-6=5; e) 5+4=9" In tale frase, a prima vista, vi sono solo due enunciati falsi. Quindi l'affermazione che ci sono tre enunciati falsi è falsa e costituisce, quindi, il terzo enunciato falso. O no?

 

 

Il paradosso dell'uovo e della gallina (regresso all'infinito).

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Proviamoci a risolvere la questione se sia nato prima l'uovo o la gallina: l'uovo? No, deve essere deposto dalla gallina. La gallina? No, deve nascere dall'uovo.

 

 

Il paradosso di Alice e del Re rosso.

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Nel capitolo 4 di Alice nel Paese delle meraviglie, il Re sta dormendo. Tweedledee dice ad Alice che il Re sta sognando di lei e che lei non esiste se non come "una cosa" dentro il sogno del Re. "Se il Re dovesse svegliarsi", aggiunge Tweedledum, "tu ti spegneresti - puf! - proprio come una candela!". Ma questo dialogo ha luogo nel sogno di Alice stessa. E' il Re che è "una cosa" nel suo sogno, o è lei a essere una cosa nel sogno del Re? Che cosa è realtà e che cosa è sogno? Il doppio sogno ci porta a profondi interrogativi filosofici sulla realtà. "Se non fossero posti con ironia", disse una volta Bertrand Russell, "li troveremmo troppo dolorosi". Mentre per l'uovo e la gallina il regresso è all'infinito, nel caso di Alice il regresso è circolare.

 

 

Il paradosso di Don Chisciotte.

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Nel romanzo Don Chisciotte di Miguel Cervantes (libro secondo, capitolo 51) si racconta di un'isola in cui vige una legge curiosa. Una guardia chiede a tutti i visitatori "Perché sei venuto?" Se il visitatore risponde in modo veritiero, tutto bene. Se risponde falsamente, viene impiccato. Un giorno un visitatore rispose: "Vengo per essere impiccato". Le guardie riamsero perplesse. Se non lo avessero impiccato, avrebbe voluto dire che aveva mentito e che doveva essere imiccato. Ma se lo avessero impiccato, voleva dire che aveva detto la verità e quindi non avrebbe dovuto essere impiccato. Per decidere della faccenda, il visitatore avenne portato dal governatore. Dopo aver a lungo meditato, il governatore decise: "Qualsiasi cosa io possa decidere, essa infrangerà la legge. Sarò, quindi, generoso e permetterò a quest'uomo di andarsene liberamente". Il paradosso, benché analogo a quello del coccodrillo, è oscurato dall'ambiguità dell'affermazione del visitatore. La sua affermazione si riferisce a una propria intenzione o a un evento futuro? Nel primo caso, l'uomo ha detto la verità circa le proprie intenzioni, le autorità avrebbero potuto non impiccarlo e non ci sarebbe stata nessuna contraddizione. Ma se l'affermazione viene interpretata nel seocndo modo, allroa le autorità contravverranno alla legge qualsiasi cosa facciano.

 

 

Il paradosso della lista delle persone interessanti.

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La versione che esponiamo è una variante di quella originale che tutti gli interi positivi sono interessanti, inventata da Edwin F. Bechenbach ("American Mathematical Monthly", 52, Aprile 1945, p. 211).

Supponiamo di avere un elenco A delle persone interessanti, e un elenco B delle persone non interessanti. Qualcuno dell'elenco B è la persona meno interessante del mondo. Ma questo la rende molto interessante e così anche lui, o anche lei, diventerà interessante. Quindi alla fine diventano tutti interessanti. O no?

 

 

Il paradosso del coccodrillo.

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Un giorno un coccodrillo catturò un bambino, e la madre gli disse: "Per pietà, non mangiare mio figlio". Il coccodrillo ribatté: "Lo risparmierò solo se tu indovinerai ciò che farò adesso". "Tu lo mangerai!" esclamò la madre. "Ben detto", rispose il coccodrillo. "Allora ho indovinato", lo bloccò trionfante la madre, "e adesso non puoi più mangiare il mio bambino".

Supponiamo che la madre avesse detto: "Stai per restituirmi il mio bambino". Il coccodrillo avrebbe allora potuto restituire il bambino o mangiarlo, in entrambi i casi senza contraddizioni. Se lo avesse restituito, la madre avrebbe detto la verità e il coccodrillo avrebbe mantenuto la parola. D'altra parte, se fosse stato sufficientemente spregevole, avrebbe potuto mangiare il bambino; ciò avrebbe reso falsa l'affermazione della madre e quindi non sarebbe stato obbligato a restituirle il bambino.

 

 

Il paradosso del barbiere.

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Questo paradosso venne espresso in forma popolare da Bertrand Russell nel 1918 come paradosso "del barbiere". Un barbiere di villaggio, vantandosi di non aver concorrenza, si fa pubblicità dicendo che lui ovviamente non fa la barba a quelli che si rasano da soli, ma la fa a tutti quelli che non si rasano da soli. Un giorno gli capita di chiedersi se dovrebbe o no radere se stesso. Se si radesse da solo, allora per la prima parte della sua affermazione non dovrebbe farlo; ma se non si radesse da solo, allora, secondo la sua vanteria, dovrebbe farlo.

 

 

Il paradosso del calcolatore cui è chiesto di prevedere il futuro.

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Ad un calcolatore elettronico viene posta la domanda: "La tua prossima risposta sarà 'no'? Rispondi 'sì' o 'no'". Se il calcolatore risponde "sì" ha sbagliato. Ma anche se il calcolatore risponde "no" ha sbagliato. Il paradosso del calcolatore è poco più di una versione mascherata del paradosso del mentitore. Infatti, la risposta "no" significa "E' falso che io ora stia dicendo 'E' falso'" e questo a sua volta è eguale a: "Questo enunciato è falso".

 

 

Il paradosso dell'esame inatteso.

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Questo paradosso, di origine sconosciuta, apparve per la prima volta agli inizi degli anni quaranta e riguarda un professore che annuncia un "esame inatteso" per un giorno della settimana successiva, assicurando ai suoi studenti che nessuno avrebbe potuto dedurre il giorno dell'esame prima che il giorno stesso fosse arrivato. Uno degli studenti disse subito che il giorno non poteva essere Sabato, perché se si fosse arrivati a Venerdì senza svolgimento dell'esame, si sarebbe potuto prevedere l'esame per Sabato. Un secondo studente fece rilevare che, escluso Sabato, anche il Venerdì avrebbe dovuto essere escluso per lo stesso ragionamento, come pure qualsiasi altro giorno della settimana. Il professore, imperturbabile, svolse l'esame il mercoledì (la situazione sarebbe stata identica in qualsiasi altro giorno della settimana). Gli studenti rimasero perplessi: l'esame era stato effettivamente "inatteso".

Questo paradosso può essere "condensato" considerando una scatola di cui ci si dice: "Aprila, e troverai un uovo inatteso". Se chi ha pronunciato la frase ha ragione, la scatola deve contenere un uovo, ma allora l'uovo non sarebbe "inatteso", e quindi la frase è falsa. D'altra parte, se questa contraddizione ci porta a dedurre che la scatola non può contenere un uovo (nel qual caso la frase sarebbe falsa per un altro motivo) e poi aprendolo trovassimo un uovo, allora l'uovo sarebbe "inatteso" e la frase sarebbe vera.

 

 

Il paradosso di Newcomb.

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Questo paradosso è dovuto al fisico William Newcomb ed è stato pubblicato e analizzato dal filosofo dell'Università di Harvard Robert Nozick.

Supponiamo che esista un essere in grado di prevedere infallibilmente il futuro. Egli presenta ad un uomo e ad una donna due scatole; la scatola A è trasparente e contiene una banconota da mille dollari; la scatola B è opaca. L'essere dice a ciascuno di loro: "Hai due scelte. Una è prendere tutte e due le scatole e tenerti il loro contenuto. Ma se io avessi previsto che avresti fatto questa scelta, avrei lasciato B vuota e tu guadagneresti solo 1000 dollari. L'altra possibilità che hai è prendere solo la scatola B. Se avessi previsto che avresti agito così, avrei messo un milione di dollari in B e te li prenderesti tutti. Ho già provveduto a confezionare la scatola B e non la toccherò più da questo momento. Fai la tua scelta". L'uomo decide di prendere la scatola B ragionando in questo modo: "Se l'essere prevede infallibilmente il futuro, vedrà in anticipo che io sto prendendo la scatola B e vi metterà il milione di dollari; perciò prendendo la scatola B guadagnero un milione di dollari". La donna decide di prendere entrambe le scatole, con questo ragionamento: "L'essere ha già fatto la sua previsione ed approntato le due scatole. La scatola B non cambierà: se è vuota, rimane vuota e se è piena, rimane piena. Quindi prenderò tutte e due le scatole e avrò tutto quello che c'è  dentro". E' possibile che i ragionamenti siano entrambi corretti? In effetti il ragionamento della donna è conforme alla "Teoria dei giochi", dovuta a Jon Von Neumann e Oskar Morgestern.

 

 

La dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali

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La famosa dimostrazione di Cantor della non numerabilità dell'insieme dei numeri reali fa anch'essa uso di insiemi impredicativi. Per comprendere la dimostrazione di Cantor, occorre preliminarmente stabilire alcuni risultati della teoria degli insiemi. Quindi è anch’essa una sorta di paradosso.

Se M è un insieme finito contenente m oggetti e N è  un insieme finito contenente n oggetti, Cantor definisce l'insieme MN come l'insieme costituito da tutte le disposizioni con ripetizione di m oggetti a n a n.

MN può anche essere definito come la classe di tutte le funzioni di N in M. Le due definizioni sono perfettamente equivalenti, poiché, se ordiniamo sia l'insieme N che ciascun insieme di n oggetti di M, ciascuna disposizione individua univocamente la funzione il cui grafo è composto dalle coppie che hanno come k-esimo primo elemento il k-esimo elemento di N e come k-esimo secondo elemento il k-esimo elemento della disposizione. Grazie a questa equivalenza possiamo estendere la definizione MN ad insiemi M ed N infiniti.

Sulla scorta di queste definizioni, si vede come l'insieme potenza di un insieme S (cioè l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi) ha lo stesso numero di elementi dell'insieme 2S, dove per "2" intendiamo l'insieme {0,1}.

Cantor dimostrò che, se α è la potenza o cardinalità dell'insieme dei numeri naturali, allora 2α è la potenza dell'insieme dei numeri reali. Perciò, affermare la equipotenza dell'insieme N dei numeri naturali con quello R dei numeri reali vuol dire affermare la equipotenza di un insieme S con il suo insieme potenza 2S. Ed ecco la dimostrazione di Cantor della contraddittorietà di questo assunto.

Supponiamo che esista una corrispondenza biunivoca tra S e 2S e consideriamo l'insieme W di tutti gli elementi s di S tali che il corrispondente sottoinsieme (membro) K di 2S non contenga s. W è  naturalmente un elemento di 2S e Cantor afferma che esso non è compreso nella corrispondenza biunivoca supposta esistente. Infatti, se W corrispondesse a qualche s di S e W contenesse s, ciò contraddirebbe la stessa definizione di W. Se invece non contenesse s, allora dovrebbe contenerlo perché W è per definizione l'insieme di tutti gli s che non appartengono al sottoinsieme corrispondente. L'assunzione che esiste una corrispondenza biunivoca tra S e 2S conduce perciò ad una contraddizione.

La definizione dell'insieme W è impredicativa perché s appartiene a W se e solo se esiste un insieme K in 2S tale che K è in relazione biunivoca con s e s non appartiene a K. Perciò nel definire W facciamo uso della totalità 2S degli insiemi che contengono W come elemento. cioè, per definire W, W deve essere già contenuto nell'insieme 2S.