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Inverse function theorem e implicit functioni theorem

 

 

 

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inverse function theorem

implicit function theorem

 

 

inverse function theorem

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Sia una funzione f : V Rn à Rn di classe Cm (m ≥ 1) su un insieme aperto V di Rn. Se il determinante della matrice jacobiana è  diverso da zero in un punto x0 in V allora esiste un intorno S(x0) contenuto in V tale che:

  La restrizione di f a S(x0) è iniettiva

  L’immagine f(S(x0)) di S(x0) è un insieme aperto

  L’inversa f-1 di f è di classe Cm su f(S(x0))

Una funzione può essere localmente  invertibile o iniettiva in ogni punto (inverse function theorem) ma non essere globalmente invertibile o iniettiva.

 

 

implicit function theorem

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Sia f : U Rn à Rm (m ≤ n) una funzione differenziabile; sia P un punto appartenente ad U e supponiamo che f(P) = C e che il rango della jacobiana di f nel punto P sia m (per comodità supponiamo che le m colonne finali della jacobiana siano linearmente indipendenti). Se P = (p1,…,pn) sia P1 = (p1,…,pn-m) e P2 = (pn-m+1,…,pn) cosicché P = (P1,P2).

Allora esiste un insieme aperto V in Rn – m contenente P1, una funzione differenziabile ϕ : V à Rm, un insieme aperto W di U contenente P tale che ϕ(P1) = P2 e

 

f–1(C) ∩ W = {(X, ϕ(X)) : X V} = grafo(ϕ)

 

Così, localmente, ogni insieme di livello è un grafo.

 

Per chiarire quanto sopra, si pensi ad una funzione f : R3 à R e ad una funzione ϕ : R2 à R  che è rappresentata tridimensionalmente come una superficie S in R3. Dato un punto P R3 con la jacobiana di rango 1 e con f(P) = 0 allora esiste un intorno sferico W di P che la proiezione (x,y,z) (x,y) porta in un intorno V in R2 tale che le terne di punti della superficie S le cui coordinate x,y sono in V rappresentano il grafo della funzione ϕ ma anche l’insieme di livello f–1(0) ∩ W, cioè la porzione di superficie S contenuta nell’intorno sferico W è anche la porzione dell’insieme di livello f–1(0) = f–1(f(P)) contenuta in tale intorno sferico W.