La formula di Taylor per funzioni reali di variabile reale e per funzioni multivariate

 

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nozioni generali sulle funzioni

La classificazione delle funzioni

Le funzioni componenti di una funzione Rn Rm

Funzioni lineari e multilineari

Funzioni lineari e matrici

definizione di differenziabilità, differenziale, derivata, derivata parziale, derivata direzionale

(funzioni R R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata

(funzioni Rn R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

(funzioni Rn Rm) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

(funzioni tra spazi vettoriali normati) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

(funzioni tra spazi affini) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

teoremi sui rapporti tra continuità e derivabilità

(funzioni r r) teoremi fondamentali del calcolo

(funzioni R R) Integrale indefinito e teorema fondamentale del calcolo

(funzione R R) Regola di De LHôpital

(funzione R R) Teorema di Rolle

(funzione R R) Teorema di Cauchy o del valor medio

(funzione R R) Teorema di Lagrange

nozioni generali sulla formula di taylor

Polinomio di Taylor e ordine di contatto tra due funzioni

Terminologia sulla formula di Taylor

(funzioni r r) formula di taylor

(funzioni R R) Polinomio di Taylor di ordine n

(funzioni r r) resto del polinomio di taylor

(funzioni R R) Il resto di Peano

(funzioni R R) Il resto di Lagrange

(funzioni R R) Altre forme di resto della formula di Taylor. Il resto di Cauchy.

(funzioni R R) Se f(n+1) esiste allora la derivata (n+1)-esima del resto del polinomio di Taylor di grado n non è altro che f(n+1)

(funzioni R R) Il resto integrale

(funzioni R R) Se la derivata f(n) è continua in x0 allora il resto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad (x – x0)

(funzioni R R) Per la sua costruzione, il resto della formula di Taylor di grado n si annulla in x0 assieme a tutte le sue derivate fino al grado n incluso.

(funzioni r r) dimostrazione della formula di taylor

(funzioni R R) La serie di Taylor dimostrata da Courant

(funzioni R R) La formula di Taylor dimostrata da Citrini

(funzioni r r) formula di taylor calcolata mediante una routine vba

(funzioni R R) Formula di Taylor calcolata mediante una routine VBA

(funzioni r r) teoremi sulla formula di taylor

(funzioni R R) Proprietà di linearità del polinomio (operatore) di Taylor

(funzioni R R) Proprietà di derivazione del polinomio (operatore) di Taylor: La derivata di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di f

(funzioni R R) Proprietà di integrazione del polinomio (operatore) di Taylor: L’integrale indefinito di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f

(funzioni R R) Proprietà di sostituzione del polinomio (operatore) di Taylor

(funzioni R R) Unicità del polinomio di Taylor

(funzioni r r) formula di mac laurin

(funzioni R R) Formula di Mac Laurin

(funzioni rn r) Formula di taylor

(funzioni Rn R) Derivata direzionale iterata di ordine d di una funzione

(funzioni Rn R) Esempio di derivata iterata del terzo ordine di una funzione f : R3 R

(funzioni Rn R) Polinomio di Taylor di grado d di una funzione

(funzioni rn r) resto del polinomio di taylor

(funzioni Rn R) Formula di Taylor col resto di Peano

(funzioni Rn R) Formula di Taylor col resto di Lagrange

(funzioni Rn R) resto integrale

(funzioni Rn R) (resto integrale) Espansione di Taylor con resto integrale per funzioni C

(funzioni Rn R) (resto integrale): Se la funzione è Ck il resto integrale della espansione di Taylor con integrali delle derivate di ordine n è Ck-n

(funzioni r rn) formula di taylor

(funzioni R Rm) Formula di Taylor

(funzioni rn rm) formula di taylor

Il calcolo multivariato delle funzioni a valori vettoriali si basa sullimportante risultato che il limite di una funzione Rn Rm è dato dai limiti delle funzioni componenti

(funzioni Rn Rm) Derivata direzionale iterata di ordine d

(funzioni Rn Rm) Polinomio di Taylor di ordine k

(funzioni di variabile complessa) formula di taylor

 


 

nozioni generali sulle funzioni

 

  La classificazione delle funzioni

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Le funzioni Rn Rm tra spazi euclidei sono un sottogruppo delle funzioni tra spazi vettoriali di dimensione qualsiasi.

Quando n = m = 1 una tale funzione è detta funzione a valori reali di una variabile reale.

Quando n = 1 e m > 1 è detta funzione a valori vettoriali di una variabile reale

Quando n > 1 e m = 1 è detta funzione a valori reali di variabile vettoriale, o semplicemente campo scalare

Quando n > 1 e m > 1 è detta funzione a valori vettoriali di una variabile vettoriale, o semplicemente campo vettoriale

Per evitare ingombranti denominazioni, nel prosieguo parleremo rispettivamente di funzioni R R, funzioni R  Rm, funzioni Rn R e funzioni Rn Rm anche se tecnicamente esse potrebbero essere definite solo su un sottoinsieme dello spazio euclideo indicato come dominio.

Molti autori seguono la regola che se il simbolo di funzione non è in grassetto e l’argomento è in grassetto si tratta di una funzione Rm R, mentre, se anche il simbolo di funzione è in grassetto si tratta di una funzione Rm Rn

 

 

  Le funzioni componenti di una funzione Rn Rm

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Data una funzione f : Rn Rm, essa può essere rappresentata come una m-pla di funzioni componenti fi : Rn R:

 

y1 = f1(x1, …, xn)

………………….

ym = fm(x1, …, xn)

 

in modo che si abbia:

 

f(x1,…,xn) = (f1(x1,…,xn), …, fm(x1, …, xn))

 

I rapporti tra le funzioni componenti ed f sono molto importanti:

La funzione f è continua se e solo se le funzioni componenti sono continue

La derivata della funzione f nella direzione del vettore v è costituita dalla enopla delle derivate delle funzioni componenti:

 

Dvf = (Dvf1, …, Dvfm)

 

 

  Funzioni lineari e multilineari

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Una funzione f : Rn Rm è una funzione lineare se si ha:

 

f(a v + b w) = a f(v) + b f(w)

 

dove v,w Rn e a,b R

La linearità non è da confondere con la multilinearità. Una funzione multilineare è una funzione g : Rn x … x Rn che manda k vettori di Rn in Rm e tale che la funzione è lineare rispetto ad ogni vettore della k-pla:

 

g(u, v, a w1 + b w2, x, y) = a g(u, v, w1, x, y) + b g(u, v, w2, x, y)

 

 

  Funzioni lineari e matrici

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Una funzione f : Rn Rm è lineare se e solo se esistono numeri aij, i = 1,…,m, j = 1,…,n, tali che le funzioni componenti f1,…,fm di f sono date da:

 

f1(x) = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

f2(x) = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

……………………………………

fm(x) = am1x1 + am2x2 + … + amnxn

 

La funzione f è determinata completamente dalla matrice A = (aij) e può scriversi sotto forma di moltiplicazione matriciale:

 

f(v) = A v

 

e cioè:

 

 

 

definizione di differenziabilità, differenziale, derivata, derivata parziale, derivata direzionale

 

 

  (funzioni R R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata

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Una funzione f è una funzione derivabile in un punto x0 se si può scrivere:

 

f(x0 + x) – f(x0) = f(x0) x + o(x)  (x 0)

 

dove per o(x) (notazione di Landau) si intende una funzione α tale che

In altre parole, trascurando gli infinitesimi superiori al primo, lincremento di f è dato dalla funzione lineare in x:

 

φ(x) = f(x0) x

 

La funzione lineare che approssima lincremento x è chiamata differenziale della funzione f in x0.

 

Equivalentemente, la funzione f è differenziabile in x0 se si ha:

 

 

 

  (funzioni Rn R) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Sia f : A Rn R una funzione definita su un aperto A di R e sia x0 interno ad A. Si dice che f  è una funzione differenziabile in x0 se esiste una funzione lineare L : Rn R per cui si abbia:

 

f(x0 + x) – f(x0) = L(x) + o(∥∆x)

 

 dove una funzione φ è detta essere o(∥∆x) se è:  

Per funzione lineare si intende una funzione f : Rn R tale che, dati gli scalari ai e i vettori vi si abbia:

 

f(v1, , ai vi + bi wi, , vn) = ai f(v1, ,vi, , vn) + bi f(v1,, wi, , vn)

 

La funzione L è definita univocamente dalla condizione di differenziabilità e prende il nome di differenziale di f in un punto x0 ed è anche simboleggiata con dfx0, mentre il simbolo Dfv(x0), viene normalmente riservato alla derivata direzionale (vedi più avanti).

A volte L viene detta differenziale totale per distinguerla dai differenziali parziali dx1f, , dxnf, che sono le derivate parziali, meglio indicate con f/xi, Dxif, fxi.

La funzione L è detta parte principale dellincremento f = f(x0 + x) – f(x0) e la funzione φ si dice essere un infinitesimo di ordine superiore (al primo) rispetto a ∥∆x.

In trattazioni più avanzate il differenziale è definito come una funzione dallo spazio tangente di un punto x0 del dominio allo spazio tangente del punto f(x0) del codominio.

Alcuni autori distinguono il "differenziale della funzione in un punto x0" dal "differenziale della funzione f" senza altre specificazioni, che è la funzione Rn L(Rn R) che per ogni punto p di Rn fornisce il differenziale dfx0, dove L(Rn R) è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari Rn R.

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esiste una funzione lineare L tale che si ha:

 

 

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esistono le derivate parziali i-esime, date da:

 

 

ed esiste una funzione lineare di tali derivate parziali (talvolta simboleggiata con f x) tale che sia:

 

 

dove è

Equivalentemente, una funzione f è differenziabile se esiste una matrice mxn (nel caso Rn R la matrice è una matrice-riga di dimensione 1xn) tale che sia:

 

 

dove "" è una moltiplicazione matriciale e dove è

Tale matrice è chiamata da taluni derivative.

Equivalentemente, vengono dapprima definite le derivate parziali, date da:

 

 

se le derivate parziali esistono e sono continue, allora lespressione  costituisce la parte principale dellincremento totale della funzione e si definisce differenziale totale e differisce da f di un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ∥∆x.

Se consideriamo Df(x0)(v) come una funzione che fornisce la derivata direzionale nella direzione di un vettore v, troviamo che non sempre è una mappa lineare: questo avviene solo se f è una funzione differenziabile; allora la funzione che fornisce la derivata ha la forma di un differenziale df(x0), cioè di una mappa lineare che approssima la funzione f(x) f(x0). Nel caso di non-differenziabilità, invece, esiste la mappa Df(x0) che fornisce la derivata, mentre non esiste il differenziale df(x0)

Al differenziale df si contrappone lincremento f della funzione; per valori infinitesimi di x si ha df f.

Data una funzione f : Rn Rm,  la funzione che associa ad ogni punto p Rn la funzione lineare dfp : Rn R è una forma differenziale (lineare).

Una forma differenziale lineare su Rn è un polinomio omogeneo di primo grado nelle componenti di un vettore dx:

 

 

che varia da punto a punto. Considerando dx come argomento, tale polinomio rappresenta in ogni punto una funzione lineare Rn R. Una forma lineare può essere identificata con le n funzioni continue che in ogni punto forniscono i valori ak.

Non tutte le forme differenziali lineari sono forme differenziali di una funzione. Se, data una forma differenziale lineare definita in un aperto A Rn esiste una funzione f di classe C1 le cui derivate parziali k-esime forniscono il k-esimo coefficiente ak della forma, allora si dice che la funzione f è una primitiva o un potenziale della forma, e la forma stessa si dice esatta.

 Chiamiamo ogni vettore unitario v Rn una direzione in Rn. La derivata direzionale di f in x0 nella direzione v è il limite:

 

 

Alcuni autori considerano un vettore v qualsiasi (anche non unitario) e chiamano derivata direzionale nella direzione di v il limite ottenuto considerando tale vettore.

Le n derivate parziali di f non sono altro che le derivate direzionali rispetto alle basi standard di Rn:

 

e1 = (1, 0, , 0)

e2 = (0,1,0, , 0)

………………….

en = (0, , 0, 1)

 

le basi standard di Rn sono quelle che esprimono un vettore con coefficienti che coincidono con le componenti del vettore:

 

v = (v1, …, vn) = e1 v1 + e2 v2 + + en vn.

 

Le derivate parziali sono date dal limite: .

Si vede come si tratti della derivata della funzione R R ottenuta facendo variare la variabile xi e tenendo le rimanenti variabili x1, …, xi–1, xi+1, …, xm fisse.

Esse verranno indicate con  o anche con Dif(a) = Deif(a):

Se la funzione f è differenziabile, allora le derivate parziali e in genere le derivate direzionali sono date dal differenziale:

 

Dvf(a) = dfa(v) = L(v)

 

Come già detto sopra, il fatto che una funzione abbia tutte le derivate direzionali in un punto non implica che sia derivabile in tale punto, se Dvf(a) L(v) allora la funzione Dv(x0) non è una funzione lineare e f non è differenziabile.

Ad es. la funzione  ha tutte le derivate direzionali nel punto x0 = (0,0), ma la funzione Dv(x0) non è una funzione lineare, e quindi limmagine di R2 nella funzione L non forma un piano tangente il punto a.

Se la funzione f è differenziabile, allora le derivate direzionali sono una combinazione lineare delle derivate parziali:

 

 

 

  (funzioni Rn Rm) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Se esiste una trasformazione lineare L : Rn Rm tale che

 

[0812181947]            

 

allora diciamo che f è una funzione differenziabile in b.

Equivalentemente, una funzione f è una funzione differenziabile se esiste una applicazione lineare L : Rn Rm tale che si abbia:

 

[0812181948]             f(x0 + h) – f(x0) = L(h) + o(h) per h 0

 

La formula [0812181948] è lequivalente della formula [0812181947], perché la funzione o(h) è precisamente la funzione f(x) f(x0) L(x x0), che, come si vede, ha limite zero rispetto ad h per h 0

Lapplicazione L, univocamente determinata dalle condizioni [0812181947] o [0812181948] viene chiamata il differenziale della funzione f in x0. Si scrive anche L = f(x0).

Nella formula [0812181947] il limite zero non è uno scalare ma un vettore, perché la quantità rappresentata dalla frazione è un vettore appartenente al codominio di f. Che è lo stesso che dire che il limite φ(h)/ h relativo alla funzione φ(h) = o(h) nella formula [0812181948], anche se il denominatore è scalare, è un limite vettoriale.

Alcuni autori distinguono il "differenziale della funzione in un punto x0" dal "differenziale della funzione f" senza altre specificazioni, che è la funzione Rn L(Rn Rm) che per ogni punto p di Rn fornisce il differenziale dfx0, dove L(Rn Rm) è lo spazio vettoriale delle funzioni lineari Rn Rm.

Equivalentemente, data una funzione f : Rn Rm, esiste una funzione lineare Dx0f : Rn Rm tale che per ogni intorno N della mappa lineare zero in L(Rn ; Rm), cè un intorno N di zero Rn tale che se t N allora

 

f(x+t) f(x) =  Dx0f(t) + A(t)

 

per qualche A N.

Equivalentemente, la funzione f : Rn Rm è differenziabile in a sse ognuna delle sue funzioni componenti f1, …, fn è differenziabile. In tal caso il differenziale di f è dato da:

 

dfa = (dfa1, …, dfan)

 

La derivata direzionale di f in x0 nella direzione del vettore v è il vettore:

 

 

In pratica si tratta del vettore velocità γv(0) : della curva

 

γv : R Rm : h f(x0 + h v)

 

con γv(0) = x0

La derivata direzionale nella direzione di un versore base è chiamata la derivata parziale di f rispetto al k-esimo componente di x.

La matrice mxn della funzione lineare L nelle basi standard di Rn ed Rm coincide con la matrice jacobiana delle derivate parziali, cioè la sua i-esima riga, j-esima colonna è la derivata parziale j-esima della funzione componente i-esima:

 

 

dove le fi sono le n funzioni componenti Rn R tali che f(x1,…,xn) = (f1(x1,…,xn), …, fm(x1, …, xn))

Da alcuni autori tale matrice mxn di L viene chiamata la derivata della funzione nel punto x0 simboleggiata da f(x0).

Possiamo pertanto dire equivalentemente che la funzione f : Rn Rm è differenziabile se esiste una matrice J di dimensione mxn tale che sia:

 

[0812191937]             f(x0 + h) – f(x0) = J h + φ(h)

 

dove “ è la moltiplicazione matriciale e limh 0 φ(h)/h = 0

Si può dimostrare che se la funzione f è differenziabile, allora le derivate parziali e in genere le derivate direzionali sono date dal differenziale:

 

Dvf(a) = dfa(v)

 

Quindi, se una funzione è differenziabile, le derivate direzionali si ottengono applicando la matrice jacobiana al vettore di Rn rispetto a cui è calcolata la derivata direzionale:

 

Dvf(a) = J v

 

dove la moltiplicazione è il prodotto matriciale:

Essendo tale matrice, come detto, formata dalle derivate parziali, si vede, dalla formula matriciale sopra indicata, che le derivate direzionali nella direzione del vettore v = (v1,…,vn) sono esprimibili come combinazione lineare delle derivate parziali moltiplicate per le componenti vi:

 

Dvf(a) = 1jnvjDjf(a)

 

Possiamo dire equivalentemente che una funzione f : Rn Rm è differenziabile se esistono le derivate parziali ed esiste una funzione lineare con coefficienti dati dalle derivate parziali che approssima f(x0 + h) f(x0) a meno di infinitesimi superiori al primo per h 0.

Possiamo dire equivalentemente che una funzione f : Rn Rm è differenziabile se e solo se esistono e sono continue le derivate parziali delle funzioni componenti, perché in tal caso esiste una mappa lineare L : Rn Rm tale che:

 

f(a + h) = f(a) – L(h) + R(h)

 

con limh0 R(h)/|h| = 0

(si noti che 0 è un vettore)

Tale mappa lineare può essere visualizzata come:

 

f(h) =

 

dove il vettore  approssima f(x + h) – f(x) a meno di infinitesimi superiori al primo per h 0.

 

 

  (funzioni tra spazi vettoriali normati) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Sia f : U E F una funzione tra spazi vettoriali dotati di norma, dove U è un aperto in E. Diciamo che f è una funzione differenziabile in un punto x0 se esiste una funzione lineare L : E F tale che sia:

 

 

dove ∥⋅∥ rappresenta la norma nello spazio appropriato.

La mappa L viene detta il differenziale di f nel punto x0.

La mappa

 

Df : U L(E,F) : u Df(u)

 

(dove L(E,F) è lo spazio delle funzioni lineari tra E ed F) è il differenziale di f.

 

 

  (funzioni tra spazi affini) Definizione di differenziabilità, differenziale, derivata direzionale, derivata parziale

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Data una funzione f : X X' tra spazi affini, una derivata di f in x0 X è una funzione lineare Dx0f : Tx0X Tf(x0)X' tra gli spazi tangenti rispettivamente ad x0 e ad f(x0), tale che per ogni intorno della mappa lineare nulla in L(Tx0X ; Tf(x0)) cè un intorno N' di 0 Tx0X tale che se t N' allora

 

d'(f(x+t),f(x)) =  d'f(x0)(Dx0f(t) + A(t))

 

per qualche A N.

Dove d' : X'xX' T è una funzione che porta una coppia di vettori di un insieme X in un vettore dello spazio vettoriale T associato allo spazio affine.

 

 

teoremi sui rapporti tra continuità e derivabilità

 

(funzioni Rn R) Se una funzione è differenziabile in un punto è ivi continua

 

(funzioni Rn R) Se una funzione possiede derivate parziali continue nell’intorno di un punto, è ivi differenziabile.

 

(funzioni Rn R) La differenziabilità in un punto implica l’esistenza di tutte le derivate direzionali, ma non è vero in generale l’inverso.

 

(funzioni R R) Se una funzione ha una derivata in un punto allora è continua in quel punto

 (funzioni Rn Rm) Non è sempre vero che una funzione che ha una derivata in un punto è continua in quel punto.

 

 

(funzioni r r) teoremi fondamentali del calcolo

 

  (funzioni R R) Integrale indefinito e teorema fondamentale del calcolo

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Una funzione A(x) è un integrale indefinito della funzione f(x) se quest’ultima ne costituisce la derivata. Abbiamo allora:

 

 

cioè (teorema fondamentale del calcolo) l’operazione di integrazione è l’inversa di quella di derivazione: integrando la derivata di A(x) si ottiene A(x)

 

 

  (funzione R R) Regola di De LHôpital

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Siano date due funzioni f(x) e g(x) e si supponga che

Il quoziente f(x) / g(x) assuma in un punto x0 ̅  la forma indeterminata del tipo 0 / 0 oppure /

f(x) e g(x) siano continue e derivabili in un intorno (destro, sinistro, bilatero) U0 di x0, x0 escluso

Sia g(x) 0 per x x0

Esista, finito o infinito, il limite (destro, sinistro, bilatero):

 

 

Allora esiste anche il limite per x x0 di f(x)/g(x) e coincide con

 

 

  (funzione R R) Teorema di Rolle

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Se una funzione f C0([a,b]) assume valori uguali agli estremi dellintervallo [a,b] ed è derivabile in tutti i punti interni a tale intervallo, esiste almeno un punto ξ  (a,b) in cui f(ξ) = 0

 

 

  (funzione R R) Teorema di Cauchy o del valor medio

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Siano date due funzioni, f,g continue in un intervallo chiuso [a,b] e derivabili in (a,b). Allora esiste almeno un punto ξ (a,b) in cui:

 

g(ξ) [f(b) f(a)] = f(ξ) [g(b) g(a)]

 

Se si suppone inoltre che la derivata g(x) non si annulli in tutto (a,b), risulta  necessariamente g(b) g(a) (per il teorema di Rolle), e la relazione precedente si scrive:

 

 

 

  (funzione R R) Teorema di Lagrange

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Data una funzione f C0([a,b]) e derivabile in (a,b) esiste almeno un punto ξ (a,b) in cui:

 

 

o, equivalentemente:

 

f(b) = f(a) + f(ξ) (b - a)

 

 

 

nozioni generali sulla formula di taylor

 

  Polinomio di Taylor e ordine di contatto tra due funzioni

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Si dice che due funzioni f e g hanno contatto di ordine n in x0 se la loro differenza è infinitesima di ordine superiore ad n in x0

Una funzione f e il suo polinomio di Taylor di ordine n centrato in x0 hanno contatto di ordine n in x0

Il polinomio di Taylor è l’unico ad avere tale contatto. Per questa caratteristica si chiama anche polinomio osculatore di ordine n di f in x0

 

 

  Terminologia sulla formula di Taylor

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Una espansione di Taylor che, a parte il resto, usa derivate n-esime si denomina polinomio di Taylor di grado n relativo alla funzione f e al punto x0 (polinomio di Taylor di grado n relativo alla funzione f in x0) (Polinomo di Taylor di grado n generato da f nel punto x0).

Poiché, data una funzione f, esiste un solo polinomio di grado n le cui derivate in x0 coincidono fino alla n-esima con quelle di f, il polinomio di Taylor dipende da n, f, x0, x, pertanto viene indicato in vari modi:

 

Pn(f,x,x0)

Pnf(x,x0)

Pn(x,x0)

Pn(x)

 

Noi utilizzeremo più frequentemente questultimo simbolo

La funzione f(x) Pn(x) si denomina resto n-esimo del polinomio di Taylor e viene indicata in vari modi:

 

Rn(x,x0)

Rn(x)

 

dei quali noi utilizzeremo lultimo.

Taluni autori considerano il polinomio e il resto non funzioni di x, ma di h = x x0 e scrivono:

 

Pn(x x0)

Rn(x x0)

 

Rn(x,x0) è infinitesimo di ordine superiore a (x – x0)n

Loperatore di Taylor di grado n è loperatore T della formula:

 

Pn(x,x0) = Tn(f)

 

Perciò il simbolo Tn(f) può essere utilizzato intercambiabilmente con quello del polinomio di Taylor

Attenzione: serie di Taylor indica lo sviluppo della funzione facendo tendere il grado n di Pn(x,x0) ad infinito, mentre formula di Taylor indica lespansione di Taylor di un dato grado.

Si trova in certi autori anche lespressione espansione di Taylor di ordine n-esimo per indicare la formula comprensiva del polinomio di Taylor e del resto n-esimo.

 

 

 

(funzioni r r) formula di taylor

 

 

  (funzioni R R) Polinomio di Taylor di ordine n

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La formula del polinomio di Taylor di ordine n per una funzione f : R R è la seguente:

 

 

dove f(k)(x0) è la derivata k-esima nel punto x0.

In pratica, il termine , derivato k volte dà 1, mentre derivato un numero inferiore o un numero superiore di volte dà zero. Pertanto il polinomio di Taylor Pn(x – x0) ha le derivate successive alla n-esima identicamente eguali a zero.

Aggiungiamo ora al polinomio di Taylor il resto, cioè una funzione Rn(x) = f(x) – Pn(x,x0):

 

[0812112004]            

 

Per la costruzione del polinomio di Taylor si ha:

 

[0812201905]            

 

Se esiste la derivata n-esima in x0, sarà dimostrato più avanti che è:

 

[0812112007]            

 

e cioè:

 

[0812112008]                (resto di Peano)

 

Se invece, oltre alla derivata n-esima, supponiamo che la derivata (n +1)-esima esista nell’intervallo aperto (x0,x), possiamo garantire l’esistenza di almeno un punto ξ h in cui risulti:

 

[0506281102]            

 

e cioè:

 

[0506281103]                (resto di Lagrange)

 

 

 

(funzioni r r) resto del polinomio di taylor

 

  (funzioni R R) Il resto di Peano

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Supponiamo che la funzione f sia dotata di derivate fino alla (n + 1)-esima nel solo punto x0. Possiamo allora applicare ripetutamente la regola di De L’Hopital al rapporto

 

 

ottenendo, dopo n passaggi:

 

[0812061925]           

 

Notiamo che é:

 

Rn(n)(x0) = 0

 

Infatti, per la costruzione del polinomio di Taylor, questo ha le stesse derivate fino all’ordine n, e si può scrivere:

 

Dn(x0)[ Tn + Rn ] = f(n)(x0)

 

da cui:

 

f(n)(x0) + Rn(n)(x0) = f(n)(x0)

 

da cui si vede che la derivata n-esima del resto n-esimo è zero. Questo fa sì che possiamo sommare Rn(n)(x0) in qualsiasi punto della  [0812061925] e quindi scrivere:

 

[0812061926]           

 

Poiché è Rn(n+1)(x0) = f(n+1)(x0) ed è:

 

[0812061935]           

 

possiamo scrivere:

 

[0812061932]           

 

da cui, sostituendo la [0812061932] nella [0812061925] otteniamo:

 

[0812061934]           

 

da cui, per le proprietà dei limiti, possiamo scrivere:

 

[0812061936]           

 

e cioè:

 

[0812061938]           

 

e cioè:

 

[0702260738]           

 

che è il resto di Peano nella sua prima forma.

Se scriviamo la [0702260738] come:

 

[0702260739]           

 

notiamo che il primo addendo non è altro che il termine (n + 1)-esimo dello sviluppo di Taylor, togliendo il quale abbiamo il resto del polinomio di ordine (n + 1):

 

[0702260740]           

 

Applicando passaggi analoghi al polinomio di Taylor e al resto di ordine (n – 1), e scrivendo

 

o(x x0) = α(x)

 

otteniamo facilmente:

 

[0702260741]           

 

e poiché α(x) è infinitesima per x x0 abbiamo:

 

[0702260742]           

 

e quindi possiamo riscrivere la [0702260741] come:

 

[0702260743]           

 

che è il resto di Peano nella seconda forma, che richiede solo che la funzione sia derivabile n volte in x0 e non l’esistenza della f(n+1)(x0).

La condizione che f sia derivabile n volte implica che f(n–1) esista in tutto un intorno di x0.

 

 

  (funzioni R R) Il resto di Lagrange

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Il resto di Lagrange

Si supponga che esista la (k +1)-esima derivata della funzione f : R R in ciascun punto dell’intervallo chiuso I con punto iniziale x0 e punto finale x. Allora esiste un punto x0 Ϛ x tale che

 

Questa formula è conosciuta come resto di Lagrange.

Se, in aggiunta, si ha |f(k+1)(σ)| M per ogni Ϛ I allora è:

 

 

e inoltre:

 

 

in particolare tale formula vale se f(k+1) è continua nel punto x0, perché allora sarà necessariamente limitata da un qualche valore M su un intervallo aperto contenente x0.

Dimostrazione del resto di Lagrange

Invece di supporre che esista f(n+1) in x0 (ipotesi da cui si ricava il resto di Peano) facciamo l’ipotesi che la derivata di ordine n + 1 esista nell’intervallo aperto (x0,x) (dunque non necessariamente in x0).

Dal teorema di Cauchy si deduce che, date f,g continue in un intervallo chiuso [a,b] e derivabili nell’intervallo aperto (a,b), se la derivata g(x) non si annulla in tutto (a,b), esiste un punto ξ (a,b) in cui è:

 

[0702260738]           

 

Tenuto conto che è:

 

[0703042029]           

 

dato che i secondi addendi del numeratore e denominatore valgono zero, possiamo applicare ripetutamente la [0702260738] al secondo rapporto della [0703042029] ottenendo:

 

[0702260739]           

 

Scriviamo il secondo rapporto della [0702260739] come:

 

[0703042033]           

 

 Il teorema di Lagrange dice che data una funzione f C0([a,b]) e derivabile in (a,b) esiste almeno un punto ξ (a,b) in cui:

 

 

Applicando il teorema di Lagrange alla [0703042033] possiamo garantire l’esistenza di almeno un punto ξ (x0,x) in cui risulti:

 

[0703042035]           

 

Poiché è:

 

[0703042037]           

 

possiamo scrivere:

 

[0703042039]           

 

e quindi, per la [0702260739]:

 

[0703042041]           

 

e cioè il resto della formula di Taylor nella forma di Lagrange:

 

[0703042043]           

 

 

  (funzioni R R) Altre forme di resto della formula di Taylor. Il resto di Cauchy.

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Supponiamo che f(n+1) esista in un intervallo aperto (h,k) contenente x0 e che f(n) sia continua nell’intervallo chiuso [h,k]. Scegliamo un x x0 in [h,k]. Per fissare le idee supponiamo che sia x > a. Manteniamo x fisso e definiamo una nuova funzione F sullintervallo [a,x] come segue:

 

[0812070529]           

 

Si osservi che F(x) = f(x) e F(x0) = Tnf(x;x0), e dunque F(x) – F(a) = Rn(x). La funzione F è continua nell’intervallo chiuso [x0,x] e derivabile nell’intervallo aperto (x0,x). Se calcoliamo F(t) tenendo presente che ognuno dei termini della somma che definisce F(t) è un prodotto, troviamo che tutti i termini si semplificano eccetto uno, e siamo condotti all’equazione:

 

[0812070538]           

 

Sia ora G una qualsiasi funzione continua su [a,x] e derivabile su (a,x). Ad essa possiamo applicare il teorema di Cauchy e scrivere:

 

[0812070530]           

 

per qualche c nell’intervallo aperto (x0,x). Se G non si annulla in (x0,x) ciò ci fornisce la seguente espressione per il resto:

 

[0812070543]           

 

Possiamo esprimere l’errore in molte forme, con differenti scelte di G. Prendendo ad es. G(t) = (x – t)n+1 otteniamo la forma di Lagrange:

 

[0812070546]           

 

Prendendo G(t) = x – t otteniamo un’altra formula, detta forma di Cauchy del resto:

 

[0812070549]           

 

Se G(t) = (x – t)p, con p 1, otteniamo la formula

 

[0812070551]           

 

 

  (funzioni R R) Se f(n+1) esiste allora la derivata (n+1)-esima del resto del polinomio di Taylor di grado n non è altro che f(n+1)

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In pratica, il termine , derivato k volte dà 1, mentre derivato un numero inferiore o un numero superiore di volte dà zero.

Pertanto il polinomio di Taylor Pn(x – x0) ha le derivate successive alla n-esima identicamente eguali a zero.

Questo implica altresì che se esiste la derivata f(n+1) allora è:

 

Rn(n+1) = f(n+1)

 

perché per ipotesi il polinomio di Taylor di grado n ha nulle le derivate superiori alla n-esima.

 

 

  (funzioni R R) Il resto integrale

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Se f Cn+1 in un intervallo contenente x0 si ha: col resto

 

 

  (funzioni R R) Se la derivata f(n) è continua in x0 allora il resto è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad (x – x0)

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Se la derivata f(n) è continua in x0 si ha

 

Dimostrazione che è

Infatti è:

 

f(x) = Pn - Rn

 

ma anche

 

f(x0) = P(x0)

 

per cui

 

 

Dimostrazione che è

 

Infatti si ha:

 

 

 

 

 

 

Dimostrazione che è

 

Supponiamo che f sia derivabile in tutto un intorno di x0. Applicando la regola di de L’Hopital si ha:

 

 

ammesso che quest’ultimo limite esista. Quindi, se f ammette derivata seconda in x0 si ha:

 

 

da cui si ricava che:

 

 

Isolando il termine f(x) al primo membro si ottiene:

 

 

Iterando il numero desiderato di volte lo stesso procedimento utilizzato per dimostrare che è   si ottiene infine che, se esiste f(n)(x0) è:  

 

 

 

  (funzioni R R) Per la sua costruzione, il resto della formula di Taylor di grado n si annulla in x0 assieme a tutte le sue derivate fino al grado n incluso.

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(funzioni r r) dimostrazione della formula di taylor

 

 

  (funzioni R R) La serie di Taylor dimostrata da Courant

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Invece di una dimostrazione rigorosa della formula di Taylor, partiremo dai seguenti presupposti:

Che sia possibile esprimere funzioni del tipo:

 

(1)     f(x) = c0 + c1x + c2x2 + …

 

mediante una legge che esprima i coefficienti ci per mezzo della funzione f e delle sue derivate

Che f(x) sia indefinitamente derivabile nel punto x0

Che una serie di potenze possa essere derivata termine a termine

In queste ipotesi, si possono determinare i coefficienti cn dalla conoscenza del comportamento di f(x) nell’intorno di x = 0.

Sostituendo x = 0 nella (1) si ottiene:

 

c0 = f(0)

 

Derivando la (1) si ottiene poi:

 

(2)     f(x) = c1 + 2c2x + 3c3x2 +

 

Sostituendo di nuovo x = 0 si ottiene:

 

c1 = f(0)

 

derivando la (2) si ottiene:

 

(3)     f(x) = 2c2 + 23c2x + + (n1) n cnxn2 +

 

Sostituendo x = 0 si ottiene

 

2!c2 = f(0)

 

Analogamente, derivando la (3) si trova

 

3!c3 = f(0)

 

Ripetendo questo procedimento si trova la formula generale

 

 

Il risultato è la serie di Taylor:

 

 

 

  (funzioni R R) La formula di Taylor dimostrata da Citrini

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Lidea base della formula di Taylor è abbastanza semplice: se la retta tangente è una prima approssimazione di una data funzione, si può pensare che unapprossimazione migliore si ottenga considerando una parabola, o un polinomio di grado superiore; e se il coefficiente angolare della tangente è dato dalla derivata prima, i coefficienti dei termini di grado più elevato saranno legati alle corrispondenti derivate successiva di f, supposto che esistono. Siamo dunque indotti a cercare un polinomio (di un assegnato grado n) che assuma in un punto x0 lo stesso valore e le stesse derivate (fino allordine n) di f.

La determinazione di tale polinomio è facile: basta notare che per ogni k 0 il polinomio

 

(1)    

 

si annulla in x0 assieme a tutte le sue derivate di ordine diverso da k.

Le derivate di ordine inferiore si annullano perché per j < k si ha:

 

 

Infatti, la derivata prima è:

 

 

la derivata seconda è:

 

 

eccetera, mentre il valore (x – x0) è pari a zero per x = x0.

Le derivate di ordine superiore si annullano, perché anche per esse x = x0 rende il numeratore eguale a zero.

Invece la derivata k-esima è pari a:

 

 

e cioè assume identicamente il valore 1.

Dunque la combinazione lineare

 

 

è un polinomio di grado n per il quale risulta

 

 

Possiamo dunque associare associare ad una funzione f dotata di derivate fino all’ordine n il polinomio di Taylor di grado n:

 

(2)    

 

relativo alla funzione f e al punto x0

Si noti che T1(x) coincide con la retta y = f(x0) + f(x0)(x x0) tangente a y = f(x) in x0. Invece y = T2(x) si chiama parabola osculatrice a y = f(x) in x0.

Se nella formula (2) poniamo x al posto di x0 e x + h al posto di x possiamo scrivere in modo del tutto equivalente:

 

(3a)   

 

(3b)   

 

(3c)   

 

che mostra il ruolo dei differenziali successivi nella costruzione del polinomio.

Il cosiddetto resto della formula di Taylor è rappresentato da:

 

(4)    

 

Poiché Tn(x) assume in x0 lo stesso valore di f(x), come pure ha in x0 il valore delle derivate fino alla n-esima coincidente con quello di f(x), il resto Rn(x) è una funzione che si annulla in x0 insieme a tutte le sue derivate fino all’ordine n, derivate che supporremo senz’altro continue in un intorno di x0.

Inoltre si ha:

 

 

perché si ha:

 

 

e il polinomio Tn(x) ha grado n e quindi la sua derivata di ordine n + 1 è identicamente nulla (si provi a fare la derivata terza di x2: la derivata prima è 2x, la derivata seconda è 2 e la derivata terza è zero).

Supponiamo dapprima che la funzione f sia dotata della derivata (n+1)-esima nel solo punto x0. Possiamo applicare ripetutamente la regola di De L’Hôpital al rapporto

 

 

ottenendo, dopo n passaggi, che

 

 

 

 

(funzioni r r) formula di taylor calcolata mediante una routine vba

 

 

  (funzioni R R) Formula di Taylor calcolata mediante una routine VBA

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Per calcolare in modo approssimato il valore del polinomio di Taylor in un punto x, si può utilizzare la seguente formula:

 

Public Function NewFormulaTaylorGrado3(DeltaX As Double, _

                                       DerivataPrima As Double, _

                                       DerivataSeconda As Double, _

                                       DerivataTerza As Double,_

                                       NumeroIntervalli As Double) As Double

 

 Dim Contatore As Double

 Dim derivata1 As Double

 Dim derivata2 As Double

 Dim derivata3 As Double

 

 NewFormulaTaylorGrado3 = 0

 derivata1 = DerivataPrima

 derivata2 = DerivataSeconda

 derivata3 = DerivataTerza

 For Contatore = 1 To NumeroIntervalli Step 1

  derivata2 = derivata2 + derivata3 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

  derivata1 = derivata1 + derivata2 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

  NewFormulaTaylorGrado3 = NewFormulaTaylorGrado3 + derivata1 * (DeltaX / NumeroIntervalli)

 Next Contatore

 

End Function

 

In questa formula x viene suddiviso in intervallini; per ciascuno di essi si determina il valore esatto della derivata seconda alla fine dellintervallo a partire dalla derivata terza costante.

Il valore approssimato della derivata prima alla fine dellintervallo è ottenuto supponendo che in tutto lintervallo la derivata seconda sia costante ed eguale al suo valore massimo

Il valore approssimato della funzione alla fine dell’intervallo è ottenuto supponendo che in tutto l’intervallo la derivata prima sia constante ed eguale al valore massimo approssimato della derivata prima alla fine dell’intervallo.

Dati i seguenti valori arbitrari:

 

x = 5

f(1) = 6

f(2) = 5

f(3) = 4

 

(il valore delle derivate è quello in x0) si ottiene un valore del polinomio di Taylor = 175,8333645882, molto vicino a quello esatto di 175,8333333333 ottenuto con la formula di Taylor vera e propria:

 

 

 

 

(funzioni r r) teoremi sulla formula di taylor

 

 

  (funzioni R R) Proprietà di linearità del polinomio (operatore) di Taylor

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Se c1 e c2 sono costanti, allora

 

Tn(c1f + c2g) = c1Tn(f) + c2Tn(g)

 

 

  (funzioni R R) Proprietà di derivazione del polinomio (operatore) di Taylor: La derivata di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di f

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La derivata di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di f; precisamente abbiamo:

 

(Tnf) = Tn-1(f)

 

 

  (funzioni R R) Proprietà di integrazione del polinomio (operatore) di Taylor: L’integrale indefinito di un polinomio di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f

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Taylor di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f

L’integrale indefinito di un polinomio di Taylor di f è un polinomio di Taylor di un integrale indefinito di f. Più precisamente, se è:

 

 

allora abbiamo:

 

 

  (funzioni R R) Proprietà di sostituzione del polinomio (operatore) di Taylor

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Sia g(x) = f(cx) con c costante. Allora Tn(g(x;a)) = Tn f(cx;ca))

 

 

  (funzioni R R) Unicità del polinomio di Taylor

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Sia Pn un polinomio di grado n 1. Siano f,g due funzioni dotate di derivata di ordine n in 0 e supponiamo che

 

f(x) = Pn(x) +xng(x)

 

Allora Pn è il polinomio di Taylor generato da f in 0.

 

 

(funzioni r r) formula di mac laurin

 

 

  (funzioni R R) Formula di Mac Laurin

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La formula di Taylor con punto iniziale x0 = 0 prende il nome di formula di Mac Laurin.

Quando x0 = 0 invece di "sviluppo di Taylor", e "polinomio di Taylor" si usano spesso i termini "sviluppo di McLaurin", "polinomio di McLaurin".

 La formula si scrive nel modo seguente:

 

 

dove 0 θ 1

 

 

 

(funzioni rn r) Formula di taylor

 

 

  (funzioni Rn R) Derivata direzionale iterata di ordine d di una funzione

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dove è:

 

 

o, equivalentemente

 

 

o, equivalentemente

 

 

o, equivalentemente

 

 

 

  (funzioni Rn R) Esempio di derivata iterata del terzo ordine di una funzione f : R3 R

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e cioè:

 

 

e cioè

 

 

che si può scrivere anche:

 

 

 

(funzioni Rn R) Polinomio di Taylor di grado d di una funzione

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Scriviamo la formula di Taylor in termini di derivate di grado successivo e dei loro coefficienti:

 

 

e cioè, esplicitando la formula della derivata iterata:

 

 

Molti testi, utilizzando un’unica formula di sommatoria scrivono:

 

 

Il coefficiente  si ricava da:

 

 

in cui il primo fattore è il coefficiente da moltiplicare alla derivata d-esima nella formula di Taylor, e il secondo fattore è il coefficiente della derivata d-esima come si ricava dalla formula di f(d)

 

 

 

(funzioni rn r) resto del polinomio di taylor

 

  (funzioni Rn R) Formula di Taylor col resto di Peano

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 Lo sviluppo di Taylor di ordine m per una funzione di classe Cm nellintervallo B(x0,r) di x0 Rn è dato dalla formula:

 

[0812121408]                         

 

  (funzioni Rn R) Formula di Taylor col resto di Lagrange

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Sia f una funzione definita su un aperto U di Rn ed ivi di classe Ck+1. Fissato in U un punto x0 sia x0 + h un altro punto di U tale che il segmento x0x sia interamente in U. Abbiamo allora la formula [0812121550]

If f is a real-valued function of class Ck + 1 on an open set containing the line segment L from a to a + h, then there exists a point ξ L such that:

 

[0812121550]                         

 

 

  (funzioni Rn R) resto integrale

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Se f è una funzione di classe Ck, con k 2, su un insieme aperto e convesso U 0 di Rn, per ogni x U è:

[0812290840]                         

 

 Dimostrazione. Se n = 1 e 1 U si ha:

 

 

Se n 1, poniamo ψ(t) = φ(tx) per x U e 0 t 1, e applichiamo a ψ il calcolo precedente. Tenendo conto che

 

 

si ottiene la formula del teorema.

 

 

  (funzioni Rn R) (resto integrale) Espansione di Taylor con resto integrale per funzioni C

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Le funzioni C ammettono una espansione di Taylor del primo ordine integrale della forma  che può essere scritta nella forma f = f(x0) + ci fi.

Formula di Taylor del primo ordine con resto costituito da integrali delle derivate prime > Dimostrazione

Consideriamo un punto x0 del dominio di una funzione f : Rn R, e, dato un altro punto qualsiasi x, denominiamo con v il vettore x – x0. Definiamo la funzione R R:

 

g(s) = f(x0 + s v)

 

con 0 s 1

Ovviamente si ha:

 

g(0) = f(x0)

g(1) = f(x0 + v) = f(x)

 

Dal teorema fondamentale del calcolo si ha che:

 

[0702200738]       

 

La derivata dg/ds si ottiene applicando il chain rule:

 

[0812311242]            

 

in modo da ottenere:

 

[0812311241]            

 

e cioè, poiché si ha :

 

[0812311247]            

 

Pertanto possiamo scrivere la [0702200738] come:

 

[0702200740]       

e cioè:

 

[0702200741]       

 

Se poniamo:

 

 

possiamo scrivere la [0702200741] come:

 

[0702200742]       

 

e cioè:

 

[0702200750]       

 

Dimostrazione che solo per le funzioni C esiste la espansione di Taylor integrale con gli integrali costituiti da funzioni di classe C.

 (Dimostrazione che  è una funzione C )

 

Anzitutto, dimostriamo che se g è C, anche g(sp) è C. Infatti la composizione di funzioni continue è continua; g è una funzione continua, e s p è continua se le sue funzioni componenti s p1, s p2, , s pn sono continue. Le funzioni componenti sono continue perché sono lineari:

 

s (k1p + k2q) = k1 s p + k2 s q

Applichiamo il seguente teorema: If h(p,s) is a C1 function of (p,s) Rd+1 and k(p) = , then k is C1 and

 

Da tale teorema ricaviamo subito che  esiste, perché è di classe C1.

Poiché per il teorema è:

 

 

possiamo porre:

 

 

e concludere che  esiste, perché  è C1.

 

Reiterando il procedimento possiamo porre:

 

 

e concludere che  esiste, perché  è C1.

Il procedimento può essere reiterato un numero infinito di volte, e mostra quindi che  è C.

Come si vede, un ruolo cruciale viene giocato nella dimostrazione dal fatto che g C. Se g C lespansione di Taylor: