LE CONICHE

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Questo documento verrà gradualmente completato entro il 2009

❍ Definizione usuale delle singole coniche

❍ Definizione generale geometrica delle coniche come sezioni

❍ Definizione generale geometrica delle coniche mediante il concetto di eccentricità

❍ Definizione generale algebrica delle coniche come equazioni di secondo grado

❍ Forme canoniche dell’iperbole

❍ Forme canoniche della circonferenza

❍ Forme canoniche della parabola

❍ Forme canoniche dell’ellisse

❍ Equazione esplicita di una conica

❍ Espressione della distanza di un punto da una retta

❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante traslazione

❍ Trasformazione di una equazione di secondo grado a seguito di una traslazione

❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante rotazione degli assi

❍ Trasformazione di una equazione di secondo grado a seguito della rotazione degli assi

❍ La eliminazione del termine in xy nella equazione di secondo grado mediante una rotazione degli assi

❍ Definizione usuale delle singole coniche

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L’iperbole è il luogo dei punti la differenza delle cui distanze da due punti detti fuochi è costante.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro

La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice

L’ellisse è il luogo dei punti del piano per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi

❍ Definizione generale geometrica delle coniche come sezioni

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Le coniche sono le curve che rappresentano sezioni coniche, cioè che si ottengono intersecando un doppio cono con un piano.

Se il piano è perpendicolare all’asse del doppio cono si ha una circonferenza o un punto

Se il piano è parallelo all’asse del cono l’intersezione è un’iperbole

Se il piano è parallelo ad una generatrice del cono l’intersezione è una parabola

Se il piano interseca il cono non perpendicolarmente al suo asse con una linea chiusa l’intersezione è un ellisse

Se il piano passa per il vertice del doppio cono si hanno le coniche degeneri: punto, coppia di rette intersecantesi o coppia di rette parallele.

❍ Definizione generale geometrica delle coniche mediante il concetto di eccentricità

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Dato un punto P di una conica è costante il rapporto tra la distanza di P da un punto fisso detto fuoco e la distanza da una retta fissa detta direttrice

Tale rapporto tra distanze prende il nome di eccentricità e viene denotato col simbolo “e”

▸ Le diverse coniche differiscono solo per la loro eccentricità.

▸ Si ha un ellisse quando 0 < e < 1

▸ Si ha una parabola quando e = 1

▸ Si ha una iperbole quando e > 1

▸ Si ha una circonferenza quando e = 0, cioè quando facciamo tendere all’infinito il denominatore dell’eccentricità, costituito dalla distanza del punto P dalla direttrice.

❍ Definizione generale algebrica delle coniche come equazioni di secondo grado

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Data una qualsiasi equazione di secondo grado completa di tutti i termini, del tipo:

ax² + by² + cxy + dx + ey +f = 0

se tale equazione ha soluzioni reali, il luogo dei punti le cui coordinate (x,y) soddisfano l’equazione costituisce una conica reale (cioè non immaginaria)

Si parla di coniche immaginarie (parabola immaginaria, ellisse immaginaria) per indicare le coniche le cui equazioni non hanno per soluzioni coppie di numeri (x,y) reali

Coniche reali ed immaginarie coprono tutti i casi di equazioni di secondo grado all’infuori delle equazioni di secondo grado che rappresentano due rette parallele.

Tali equazioni non corrispondono ad alcuna sezione conica e quindi, rigorosamente parlando, non sarebbero equazioni di una conica. Tuttavia i matematici, per poter affermare che ad una equazione di secondo grado corrisponde sempre una conica, le hanno comprese tra le coniche degeneri. Le altre coniche degeneri sono il punto e due rette intersecantesi, che, a differenza di due rette parallele, sono effettivamente sezioni coniche.

❍ Forme canoniche dell’iperbole

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L’equazione canonica dell’iperbole è quella dell’iperbole simmetrica rispetto agli assi cartesiani

L’iperbole simmetrica rispetto agli assi cartesiani e con i fuochi che giacciono sull’asse delle ascisse ha equazione:

L’iperbole simmetrica rispetto agli assi cartesiani e con i fuochi che giacciono sull’asse delle ordinate ha equazione:

Nell’equazione canonica dell’iperbole, la costante a rappresenta la metà della distanza tra i vertici dei due rami dell’iperbole, mentre la costante b è ricavata con la formula:

dalla costante a e dalla costante c, che rappresenta la metà della distanza tra i fuochi

Gli asintoti dell’iperbole simmetrica rispetto agli assi e con i fuochi che giacciono su uno degli assi hanno equazione:

Quando l’asse trasversale dell’iperbole risulta parallelo all’asse delle ascisse o delle ordinate si ha la forma semiridotta:

In questo caso il centro si trova nel punto C (h,k). Le lunghezze dell’asse trasversale e dell’asse coniugato, la distanza tra i fuochi, la distanza tra il centro e una direttrice, la lunghezza di un latus rectum, il coefficiente angolare degli asintoti, l’eccentricità, sono gli stessi che nel caso della forma ridotta.

Quando l’angolo tra gli asintoti è retto, si parla di iperbole equilatera. In questo caso, per l’iperbole simmetrica rispetto agli assi e con i fuochi che giacciono su uno degli assi si deve avere:

e cioè:

a = b

Le equazioni sono:

x² – y² = a²

y² – x² = a²

rispettivamente per l’iperbole simmetrica rispetto all’asse y con fuochi sull’asse x e per l’iperbole simmetrica rispetto all’asse x con fuochi sull’asse y.

Un’altra importante forma dell’iperbole equilatera si verifica quando gli asintoti coincidono con gli assi cartesiani (iperbole riferita agli assi). In questo caso la equazione dell’iperbole prende la forma:

x ‧ y = k

che rappresenta la relazione di proporzionalità inversa tra x e y.

❍ Forme canoniche della circonferenza

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Una circonferenza con centro che non appartiene né all’asse x né all’asse y ha equazione:

x² + y² + ax + by + c = 0

Si noti che i termini di secondo grado hanno eguale coefficiente e che manca il termine misto xy

Se il centro della circonferenza coincide col centro degli assi allora è:

x² + y² + c = 0

dove c = – r²

❍ Forme canoniche della parabola

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L’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y è

[0605021730] y = ax² + bx + c

Se a > 0 la concavità è rivolta verso l’alto; se a < 0 la concavità è rivolta verso il basso.

Se b = 0 l’asse di simmetria coincide con l’asse y e ha equazione:

y = ax² + c

Se c = 0 la parabola passa per l’origine e ha equazione:

y = ax²

Le coordinate del fuoco sono

L’equazione della direttrice è

Le coordinate del vertice sono:

dove

L’equazione ax² + bx + c = 0 si può interpretare come equivalente al sistema di equazioni che fornisce i punti in cui la parabola (se lo fa) interseca l’asse x.

L’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse è del tipo:

[0605021730] x = ay² + by + c

❍ Forme canoniche dell’ellisse

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L’equazione dell’ellisse in forma normale, con il centro di simmetria coincidente col centro degli assi e gli assi coincidenti con l’asse x e l’asse y e i fuochi sull’asse x è:

[0605021859]

Dalla formula 0605021859 si ricava immediatamente che le intersezioni con l’asse x sono ± a e le intersezioni con l’asse y sono ± b

❍ Equazione esplicita di una conica

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Tra le coniche solo alcune si presentano sotto forma di funzione y = f(x) e sono:

▸ Parabola con asse parallelo all’asse y e di equazione y = ax² + bx + c

▸ Iperbole equilatera riferita agli asintoti e di equazione y = k/x con x ≠ 0

Le altre coniche non sono funzioni di x ma la loro equazione può essere ricondotta alle equazioni di due funzioni esplicitando la variabile y in funzione appunto di x, fissando opportunamente il codominio delle due funzioni

Ad esempio, stabilendo come codominio l’arco di circonferenza maggiore o eguale all’asse x si ottiene, per una circonferenza con centro all’origine degli assi:

[0605021909]

dalla equazione:

x² + y² = 4

Ad esempio, stabilendo come codominio l’arco di parabola con ordinata maggiore o eguale (parabola con asse di simmetria coincidente con l’asse x) si ottiene:

[0605021923]

dalla equazione:

x = y² – 3

Ad esempio, stabilendo come codominio i due rami di iperbole (iperbole con le concavità rivolte verso le due direzioni dell’asse x) con ordinate maggiore o eguale a zero si ottiene:

[0605021925]

dalla equazione:

x² – y² = 4

❍ Espressione della distanza di un punto da una retta

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Sia data una retta r di equazione:

ax + by + c = 0

Il segmento PB è eguale a:

PB = y₀ – y₁

Per ottenere y₁ scriviamo la formula della retta in funzione della x:

[0605011736]

da cui:

[0605011737]

e cioè:

[0605011738]

sostituendo x₀ nella 0605011738 si ottiene:

[0605011746]

cosicché si ha:

[0605011739]

la formula 0605011737 della retta può anche essere scritta come:

[0605011758]

da cui si vede che il coefficiente angolare della retta è

Il coefficiente angolare non è altro che la pendenza della retta, e si ha quindi:

[0605011759]

da cui:

[0605011800]

Poiché il triangolo CAB e il triangolo di lati a, b, sono triangoli simili (essendo entrambi triangoli rettangoli) sussiste la eguaglianza:

[0605011740]

da cui otteniamo:

[0605011743]

da cui:

[0605011814]

e quindi:

[0605011741]

da cui, perché è d = AP, la formula della distanza del punto P dalla retta:

[0605011742]

❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante traslazione

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Scriviamo l’equazione che si ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:

[0605011655] ax² + 2hxy + by² + 2fx + 2gy + c = 0

Adottiamo un nuovo sistema di coordinate, spostando l’asse x di una quantità ∆x e l’asse y di una quantità ∆y

Vogliamo sapere come si modifica l’equazione [0605011655] in modo da rappresentare, rispetto ai nuovi assi, le coordinate degli stessi punti.

Si può dimostrare che la trasformazione desiderata si ottiene sostituendo, nella [0605011655] x con x′ –∆x e y con y′ – ∆y

Avremo allora una nuova equazione, stavolta in x′ e y′, che individuerà le coordinate nel nuovo sistema x′-y′

Le formule della trasformazione sono:

[0605012215] x′ = x – ∆x

[0605012215] y′ = y – ∆y

Le formule inverse sono ovviamente:

[0605012216] x = x′ + ∆x

[0605012216] y = y′ + ∆y

❍ Trasformazione di una equazione di secondo grado a seguito di una traslazione

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Scriviamo l’equazione che si ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:

[0605012225] ax² + 2hxy + by² + 2fx + 2gy + c = 0

Se applichiamo la trasformazione 0605012216 per traslazione alla equazione 0605012225, per ottenere una equazione che fornisca le coordinate dello stesso luogo geometrico espresso dalla 0605012050 nel sistema x′-y′ dobbiamo sostituire, nella 0605012225 x e y mediante le formule 0605012216. In tal modo otteniamo:

[0605012226] a · (x′ + ∆x) + 2h · (x′ + ∆x) · (y′ + ∆y) + (y′ + ∆y)2 + 2f · (x′ + ∆x) + 2g · (y′ + ∆y) + c = 0

Tenendo presente che ∆x e ∆y sono rispettivamente le coordinate del nuovo centro degli assi e che possiamo chiamarle x₀ e y₀ otteniamo:

[0605012227] a · (x′ + x0) + 2h · (x′ + x0) · (y′ + y0) + (y′ + y0)2 + 2f · (x′ + x0) + 2g · (y′ + y₀) + c = 0

❍ Formule della trasformazione di coordinate mediante rotazione degli assi

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Consideriamo il grafico sottostante:

Come si vede, l’asse x’ ha equazione:

[0605012005]

e cioè:

[0605012000]

e cioè:

[0605012001]

e cioè, visto che è il coefficiente angolare della retta e che l’intercetta è eguale a zero:

[0605011919]

e cioè:

[0605011935]

e quindi la distanza PQ, che rappresenta la nuova ascissa y′ nel sistema x′-y′, è costituita da:

[0605011922]

da cui, poiché sin² θ + cos² θ = 1 si ha:

[0605011926]

Come si vede, l’asse y′ ha equazione:

[0605012030]

e cioè:

[0605012031]

e cioè:

[0605012032]

e cioè, visto che è il coefficiente angolare della retta e che l’intercetta è eguale a zero:

[0605012033]

e cioè:

[0605012034]

e quindi la distanza PQ, che rappresenta la nuova ascissa y′ nel sistema x′-y′, è costituita da:

[0605012035]

da cui, poiché sin² θ + cos² θ = 1 si ha:

[0605012036]

Riepilogando abbiamo quindi le seguenti equazioni di trasformazione:

[0605012037]

Per trovare le formule della trasformazione inversa, dal sistema x′-y′ al sistema x-y è sufficiente esprimere le 0605012037 in funzione di x e y:

[0605012202]

[0605012203]

da cui:

[0605012204]

da cui:

[0605012205]

da cui:

[0605012206]

da cui:

[0605012207]

da cui:

[0605012208]

Riprendendo dalla 0605012203 otteniamo:

[0605012209]

da cui:

[0605012210]

da cui:

[0605012211]

da cui:

[0605012212]

da cui:

[0605012213]

da cui le formule inverse:

[0605012214]

❍ Trasformazione di una equazione di secondo grado a seguito della rotazione degli assi

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Scriviamo l’equazione che si ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:

[0605012050] ax² + 2hxy + by² + 2fx + 2gy + c = 0

Se applichiamo la trasformazione 0605012037 per rotazione alla equazione 0605012050, per ottenere una equazione che fornisca le coordinate dello stesso luogo geometrico espresso dalla 0605012050 dobbiamo sostituire, nella 0605012050 x e y mediante le formule 0605012214. In tal modo otteniamo:

[0605012051] a′x′² + 2h′x′y′ + b′y′² + 2f′x′ + 2g′y′ + c′ = 0

dove si ha:

[0605012052] a′ = a · cos² θ + 2h · sin θ · cos θ + b · sin² θ

[0605012053] h′ = (b – a) · sin θ · cos θ + h · (cos² θ – sin² θ)

[0605012054] b′ = a · sin² θ – 2h · sin θ · cos θ + b · cos² θ

[0605012055] f′ = f · cos θ + g · sin θ

[0605012056] g′ = – f · sin θ + g · cos θ

[0605012057] c′ = c

❍ La eliminazione del termine in xy nella equazione di secondo grado mediante una rotazione degli assi

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Scriviamo l’equazione che si ottiene eguagliando a zero un polinomio completo di secondo grado:

[0605012058] ax² + 2hxy + by² + 2fx + 2gy + c = 0

E’ possibile eliminare il termine in xy ponendo uguale a zero il relativo coefficiente h dato dalla 0605012053:

[0605012053] h′ = (b – a) sin θ cos θ + h(cos² θ – sin² θ)

e cioè:

[0605012059] (b – a) sin θ cos θ + h(cos² θ – sin² θ) = 0

Quando b = a questa equazione è soddisfatta da cos θ = sin θ e cioè θ = 45°

Quando b ≠ a, dividendo la 0605012059 per cos θ si ottiene:

[0605012100]

e cioè, visto che :

[0605012101]

da cui le due soluzioni:

[0605012251]

Dal momento che (b – a)² + 4h² è sempre positivo esistono sempre due soluzioni reali e distinte.

Abbiamo così dimostrato che è sempre possibile eliminare il termine in xy della equazione di secondo grado mediante una opportuna rotazione degli assi.

Per ricavare il valore di cos θ e di sin θ da quello di tan θ consideriamo il seguente grafico: